小结课堂实录【2】

1.3.2 球的体积和表面积 一、学习目标: 知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。培养空间想象能力。

过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法， 情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、学习重难点: 学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、学习过程: 1、球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？

2、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)决定球的大小的因素是球的半径．(

) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(

) (3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S．(

) 33、三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(

) 59A．倍

B．倍

C．2倍

D．3倍

954、已知某球的体积与其表面积的数值相等，则此球的体积为________．

探究点1 球的表面积与体积

(1)已知球的体积是32π，则此球的表面积是(

) 316π64π

D．

33RA．12π

B．16π

C．(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是A．17π C．20π

B．18π

D．28π

28π，则它的表面积是(

) 3

若将本例(2)中的三视图换为如图所示的图形，且圆的半径为1，则如何求解？

球的体积与表面积的求法及注意事项

(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．

(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．

(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．

跟踪训练．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

1．球的截面性质

(1)球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面；

(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d2＋r2＝R2；

(3)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．

探究点2 球的截面问题

如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(

) 500πA． cm3

31 372πC． cm3 3

球的截面问题的解题技巧

(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2．

2．(2018·厦门高一检测)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为(

) A．6π C．46π B．43π

D．63π

B．D．866π cm3

32 048π cm3

3探究点3 与球有关的切、接问题

一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：

(1)圆锥的侧面积；

(2)圆锥里内切球的体积．

探究特殊图形球的切、接问题

1、正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，

2提出问题：

（1）、你能知道正方体的外接球是什么？

（2）、正四面体的外接球：正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62aa．

2、长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则1过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝

a2＋b2＋c2，如图(2)．

2

变式：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为_____________ 你还能发现什么图形能利用长方体解决外接球？

(1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．

(2)几个常用结论：①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于1圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；④球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝S底h31＝S表R，求球的半径R．

3

3．(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

) A．πa2 11C．πa2 37B．πa2

3D．5πa2

(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为______．

4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为________．

思考正方体和球的三种关系

课堂总结

1．球的体积和表面积公式

设球的半径为R

4(1)体积公式：V＝πR3. 3(2)表面积公式：S＝4πR2. 2．用一个平面截球所得截面的特征

(1)用一个平面去截球，截面是圆面．

(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．

图1 图2 图3

(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝R2－d2. 3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：

解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．