习题1.1名师教学视频（文字实录）

人教A版必修二

《简单几何体的外接球问题》教学设计

湖北枣阳一中

赵娜

课程类型：高三复习课

教材分析：

简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，高考常以球与几何体的切接为载体，以客观题形式，考查几何体的表面积与体积，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力。此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题，其中球心的确定是关键．

学情分析：

学生在高一、高二系统地学习了立体几何，由于几何体的外接球问题

需要较强的空间想象能力，前期学习过程中学生接触较少，一直感觉比较陌生，一部分学生只能解决长方体的外接球问题，稍复杂一点就不会了。

教学目标：

知识与技能：了解球体与简单几何体的外接关系的概念；掌握外接关系的典型题目处理的基本方法，进而能处理简单几何体的外接球问题。 过程与方法：借助几何画板，通过问题的探究和应用，培养学生的抽象和类比的能力，进一步提高学生的探索精神与实践能力；通过小组讨论及成果展示，培养学生的合作精神与交流能力。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

重点：简单几何体的外接球问题.

难点：简单几何体的外接球球心的确定. 教育技术手段:多媒体,几何画板 教学方法：以学生为主体，探究式教学

教学过程设计

教师活教学过程

学生活动

动

【设计一、

基础知识回顾：

学生口答

意图】：球（体）：以半圆的直径所在直线为旋转轴，_______旋转知识准一周形成的旋转体.半圆的圆心叫______，半圆的直径叫球备

的_______.1、球的基本要素：______________ 2、球的性质

性质1：用一个平面去截球,截面是_______;用一个平面去截球面,截线是__________.球面被经过球心的平面截得的

圆叫做球的_______，被不经过球心的截面截得的圆叫做球__________. 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于______________. 性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系: ______________. 3、定义：若一个几何体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个球是这个几何体的 ___________,这个几何体是这个球的____________. 4、在空间中，如果一个定点与一个简单几何体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单几何体的外接球的__________. 【设计二、

探究几种简单几何体的外接球问题（授课方式：以学生合作意图】： 学生为主体，探究）

探究并参从学生在图中作出以下几何体外接球球心，(作出必要的辅助线)。

与讲解

熟悉的1、长、宽、高分别为a,b,c的长方体的外接球球心位置？简单几球直径？

何体的_________________________ 外接球2、直三棱柱外接球球心位置？圆柱？ 问题开如果底面外接圆半径为r，高为h，外接球半径R,它们三始，为进一步学个之间有什么样的等量关系? 习做准_____________________ 备。教师 做适时3、正三棱锥外接球球心位的引导、置？圆锥呢？

总结.

如果底面外接圆半径为r，高为h，外接球半径R,它们三个之间有什么样的等量关系? __________________________ 引导学生合作探究，多角度思考问题，一题多解

【设计意图】：引导总结侧棱三、

例题

演板作图例1及其变式1、2、3的设计意图强调补形的思想，补成讲解

简单几何体，比如长方体、正方体，直三棱柱等. 例2及其变式设计意图强调球心的定义与性质（把课堂交给学生，适时地请学生展示讲解）

例1若三棱锥从A点出发的三条侧棱两两相互垂直，且DA=a,AB=b,AC=c.求其外接球的表面积.

学生演板探究总结墙角模型、鳖臑、

与底面垂直的锥体均可用补形的思想，几何画板辅助说明.（变式1与例2模型有相似之处，还可用例2的方法，一题多解.）

【设计意图】侧棱与底面不垂直的锥体也可用补形的思想，（变式3与例2模型有相似之处，还可用例2的方法，一题多解）. 引导学生例1的变式1与变式3中有此模型，也可用球心的定义与性质

阳马，补

形：补成

长方体、

直三棱

柱，也可

建坐标系

法 . 变式1：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，

ABBC,DAh,ABa,BCb,求球O的半径.

学生演板变式2：求棱长为a的正四面体的外接球的表面积。

探究总结

变式2补

形法，另

解：借助

正三棱

锥.变式

变式3：四面体ABCD，AB=CD=2，AC=BD=3，

3是变式AD=BC=1，求其外接球体积

2的推广

例2.沿着矩形ABCD的对角线BD折起，形成空间四边

形ABCD,使得二面角ABDC为1200，AB2，

BC.

1，求此四面体ABCD外接球直径

学生探究总结例2及其变式1的三棱锥是有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥.(用球

变式1：“二面角ABDC为1200”改为“二面

角A

BDC为900”，求此四面体ABCD外接球直径.

变式2：菱形ABCD的边长为23，且BAD60,沿

0对角线

BD折成二面角A1-BD-C为120的四面体，求四

A1-BCD的外接球的半径.面体DA

CB

变式3

：将“二面角A1-BD-C为120”改为“二面角A1-BD-C为90

”则三棱锥A1-BCD的外接球的半径为（

）

小结：学生回顾总结这节课学到的内容

作业

教学反思：

这节课思维量较大，在课前安排了预习环节，在本节课教学过程中，学生参与课堂活动较多，教学设计新颖，调动了学生的思维，培养学生的探究能力与合作精神，这正符合新课改的教学理念。学生在课堂上能够积极展示，教师最后用几何画板辅助说明，效果比预计的好。不足之处：学生课堂上过于谨慎，思维受限未能完全打开,比如讲完例1,处理变式1时不太灵活，类比思想欠缺，联系与发展的思想有待提高。

A1DCB心的定义)

引导学生总结例2的变式2、3属折叠模型，具有对称性.几何画板辅助说明.

学生合作探究展示可用球心的性质：球心和截面圆心的连线垂直于该截面圆确定球心.

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