习题3.1教学设计

直线的倾斜角与斜率 习题3.1 嘉善中学

徐筱静

一、教学内容解析

在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几图形的性质。现在我们采用另一种研究方法——坐标法来研究几何问题。

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线的倾斜角与斜率的习题课，是对直线倾斜角与斜率的巩固与补充，同时也是下一节直线方程的基础，起着承上启下的作用。

本节应着重引导学生掌握直线倾斜角与斜率的基本概念，并灵活的运用直线的斜率解决问题，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想（数形结合）。

二、教学目标设置: 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念。理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。

2、通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系，实现用代数方法解决几何问题

3、通过斜率概念的建立和斜率公式的应用，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

学习重点:1、理解直线的倾斜角和斜率的概念,两条直线平行及垂直的条件；

2、掌握求直线斜率的两种方法，能根据已知条件判断两条直线的位置关系；

3、体会数形结合思想的作用

学习难点: 数形结合思想的合理使用。

三、学生学情分析：

学生已经学习了直线倾斜角与斜率，有了一定的知识与实践能力，但总体来说，本学校学生的数学基础较弱，数学能力有待培养、提高。

四、教学策略分析：

本人采用以练代讲，讲练结合的教学策略，让学生由习题归纳出已学知识点，再由基础知识引出例题，最后在培养学生数学思维灵活性的同时，提高学生的运算能力、运用数形结合思想方法的能力，进一步提升学生的数学核心素养。

五、教学过程

1）、课前热身，知识回顾

1、已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。

α=45°或135°

知识点：1、倾斜角：x轴正向与直线向上方向所成角

范围：[00，1800)

2、直线倾斜角与斜率的关系：k=tanα

α≠90°

2、已知四边形ABCD的四个顶点是A（2,3），B（1，-1），C（-1，-2），D（-2,2），求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率。

kAB=4,kBC=0.5,kCD=-4,kDA=0.25

yy,xx

知识点：已知两点求斜率公式：kxx2212113、判断下列各小题中的不同直线l1和l2是位置关系：

（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1,2），B（4,8）；

（2）l1经过点P（-5,3），Q（-5,3），l2平行于y轴，但不经过P、Q两点；

（3）l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1）、

Q（3，-6）；

（1）平行；（2）平行；（3）垂直

知识点：

1、两直线平行的判定：

l//l12(1)斜率存在时: kk12l与l重合12(2)两直线斜率都不存在即倾斜角都是900,两直线平行.

2、两直线垂直的判定：

(1)斜率存在时: k1k2-1l1l2(2)一条直线斜率不存在，另一直线斜率为0时,两直线垂直.

2）、应用举例

题型一：利用斜率判定三点共线

例1、已知A（1,2），B（-1,0），C（3,4）三点，这三点是否在同一直线上，为什么？

题目分析：此题在向量学习中已经讲解过，那利用新学的倾斜角与斜率的知识点能否解决？

学生思考后得到：直线AB和直线AC都经过点A，如果两直线斜率相同，则说明两直线重合，也就说明A、B、C三点在同一直线。

解：经过A、B两点的直线的斜率kAB1，

经过A、C两点的直线的斜率kAC1.

所以A、B、C三点在同一条直线上。

方法总结：利用斜率证明三点共线的方法

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB

＝kAC，

则有A、B、C三点共线. 变式1：若三点A（3,1）,B(-2,k)，C（8,1）能构成三角形，求实数k的取值范围。

题型二：图形形状判别及证明

例2、已知四边形的顶点A（2,2+ 22）B（-2,2）C（0,2-2 2）D（4,2），判断四边形ABCD的形状并证明。

题目分析及意图：本题是利用数形结合思想，先感官上判定图形形状，再利用两直线平行与垂直的判定去证明自己的猜想，这也为选修2-2推理与证明章节中先猜想再证明的思想打下基础。

教师提问：矩形的判定方法有哪些？

1.有三个角是直角的四边形是矩形；

2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；

4.对角线相等的平行四边形是矩形。

解：kAB22222kCD

2(2)2kAD2222

2kBC，所以lAB//lCD,lAD//lBC。242(2)1，所以lABlAD，即2又因为kABkADBAD90

所以四边形ABCD为矩形。

思考：你还可以用其他的三种方法证明本题吗？

变式、已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．

(1)求点D的坐标；

(2)试判断▱ABCD是否为菱形并证明？

题型三：求直线斜率问题

例3、经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2,1）的线段总有公共点，找出直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围，并说明理由。

题目分析及意图：本题主要通过数形结合的思想，先画图，再从图像中找到解题思路，为解析几何这块知识点打下基础。

解：由图可得kPA2(1)1(1)1,kPB1

1020所以过点P并与线段AB相交的直线斜率k-1,1

倾斜角0，45135，180

方法总结. 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数

k＝tanα的单调性，当α由0增大到90°

(α≠

90 °

)时，k由0增大到＋∞；

当α由90°

(α≠

90°)增大到180°(α≠180°)时，k由－∞增大到0. 解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观作出判断. 变式: 已知直线过l点P(-3,2)，且与

A(-2,3)、B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率和倾斜角的范围. 特别警示:

斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率问题要谨记，存在与否要讨论.

3）、课堂小结

由学生总结并归纳本节课所巩固知识点及方法：

1.

直线斜率和倾斜角的概念及斜率公式。

2.

直线平行与垂直的判定及应用。

3.

数形结合思想。

教师总结：

解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。在接下来解析几何的学习中，我们要将初中熟悉的直线、圆函数化，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的，并为以后圆锥曲线的学习打好基础。

这个基础不仅仅是知识上的基础，更是思想方法的基础。数形结合，分类讨论的思想将贯穿整个平面解析几何。

六、课后达标训练

1.下列命题正确的个数是 ( )

1)

若ɑ是直线l的倾斜角，则0a180

2)

若k是直线的斜率，则kR

3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角

A．1 B.2 C.3 D.4 [来源:学科网]2.直线l过(a,b),

(b,a)两点，其中ab,ab0则 （ ）[来源:Zxxk.Com]

A.l与x轴垂直 B. l与y轴垂直 C.l过原点和一，三象限 D.l的倾斜角为135

3.已知点A(1,123),B(1,1),直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则l的斜率为 （ ）

A.1 B.3 C.3 D.不存在

34. 已知A(5,1),B(1,1),C(2,3)，ABC的形状是

(

)

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．不能确定

5.直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为ɑ，斜率为k，则 （ ）

A.ksina0 B..kcosa0 C.ksina0 D.kcosa0

6.已知直线L的倾斜角为a,cosa12，则此直线的斜率为 。

137.已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为

时，AB⊥CD.

8.若A(1a,5),B(a,2a),C(0,a)三点共线，则a= 9.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；

(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．

10.已知四边形ABCD的顶点为A(m,n),B(6,1),C(3,3),D(2,5),求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。

[来源

11.通过本节课学习，你对数形结合思想有哪些新的认识？请把它写下来。

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