3.1直线的倾斜角与斜率（通用）第二课时教案

☆教学基本信息

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

第1课时

课题

作者及工作单位

郝晓莉 藁城区第二中学

☆教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》（人教A版）第三章第一节第一课（3.1.1）《直线的倾斜角与斜率》。本节内容主要目的是通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

☆学法分析

类比，联想，产生知识迁移；观察，实验，体验知识的形成过程；猜想，求证，达到知识的延伸。为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示，使教学更具趣味性和生动性。

☆学情分析

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，承前启后，奠定基调，渗透方法的作用。

☆教学目标

知识与技能：1. 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念； 2. 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 过程与方法：经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法. 情感态度与价值观：1. 通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；2. 通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

☆教学重点和难点

教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式

教学难点：斜率的计算方法

☆教学过程

教学环节

（一）创设情景教师活动

我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？

1．直线倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

y a b O c x 预设学生行为

1.学生回答（不能确定）

设计意图

设疑激趣导入课题．

（1）它们都经过点P.

（2）它们的倾斜程度不同.

接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.

（二）导入新课

（三）新课讲授

通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．

2.教师提问：

倾斜角的取值范围是什么？0°≤α＜180°

当直线l与x轴垂直时90

（由学生结合图形回答）

3.教师提问：

如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？

学生回答后作出结论.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.

2．直线的斜率

一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即ktan.

由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

例如= 45°时，

k = tan45°= 1；

时，

k = tan135°= –1 . = 135°

3．直线的斜率公式

yy1k2.

x2x1一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出确定

一条直线位置的几何要素.

4.教师提问：（由学生

讨论后回答）

（1）当直线l与x轴

平行或重合时，k为多少？

借助多媒体k = tan0°= 0.

演示让学生亲自（2）当直线l与x轴体会斜率公式的垂直时，k还存在吗？

推导过程.

，k不存在. = 90°

5.

教师提出问题：

给定两点P1 （x1，y1），P2

（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？

设疑激发学生思考得出结论．

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；

（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、可用计算机作动画演x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分示：直线P1P2的四种情况，母不能交换；

并引导学生如何作辅助线，

（四）巩固与练习

（五）课堂小结

（六）作业

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上共同完成斜率公式的推导.

两点的坐标求得；

（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角=

0°，直线与x轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求

斜率而得到.

通过应用进例1

已知A （3，2），B

（–4，1），C （0，–1），学生分析求解

，教师一步理解倾斜角，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角板书

斜率的有关定义

是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）

例1

略解：直线AB

【分析】已知两点坐标，而且x1

≠ x-2，由斜率的斜率k1 = 1/7＞0，所以它

公式代入即可求得k的值；

的倾斜角是锐角.

而当ktan0时，倾斜角是钝角；

直线BC的斜率k2

=

而当ktan0时，倾斜角是锐角；

–0.5＜0，所以它的倾斜角

而当ktan0时，倾斜角是0°.

是钝角.

例2

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜

率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.

例2

略解：设直线a

【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上上的另一个点M的坐标为

y），根据斜率公式有1 的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确（x，

，

定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点= （y

– 0）/（x

– 0）

所以

x = y.

为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上

可令x = 1，则y = 1，方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即

于是点M的坐标为（1，1）.可.

此时过原点和点M（1，1），

可作直线a.

同理，可作直线b，c，

1.（用计算机作动画演示画

直线过程）

小结：（1）直线的倾斜角和斜率的概念.

引导学生学师生共同总结交流完善. （2）直线的斜率公式. 会自己总结.

课堂作业

1.

求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是

锐角还是钝角.

（1）（1，1），（2，4）；

（2）（–3，5），（0，2）；

（3）（2，3），（2，5）；

（4）（3，–2），（6，–2）

41

【解析】（1）k30，所以倾斜角是锐21

角；

（2）k2510，所以倾斜角是钝角；

0(3)（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°；

（4）k2(2).

0，所以倾斜角为0°63

2.

已知点P(3,1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为

.

【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为（0，b）

直线PQ的斜率k = tan120°= 3，

∴kb10(3)即3

，

∴b = –2，2)

Q点坐标为(0，.

☆学生学习活动评价设计

学生自我评价的几个方面

听课：

1.边听边思考。

2.积极争取回答老师提出的每个问题。

3.只听老师讲的最精彩的地方。

4.边听边作笔记。

5.有时开点小差，或做其它作业。

做作业时：6.独立思考，按时完成。

7.书写工整，讲究格式。

8.没有检查不交。

9.错题弄清错因，独立订正。

10.有时拖拉或经常拖拉。

遇到疑难：11.相信自己可以解答。

12.自己请教同学或老师。

13.心里烦躁，想听别人的答案。

14.不做任何考虑，反正自己不会。

其它部分：15.课前准备充分。

16.对新学的内容，做到先预习。

17.对已学的知识常抽时间复习。

18.学习注重理解，不死记硬背。

19.不满足自己取得的成绩。

20.对老师或书中的某些知识敢于提出自己的见解。

☆教学反思

通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念，能较好地理解倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究解析几何问题。

教学中紧紧把倾斜角与斜率概念的得出作为重点，强调学生在得到概念这一过程中的积极参与、主动探索。通过设计一些具有思考价值的问题，引导学生的思考步步深入，最后概念在头脑中呼之欲出，从而让学生感受到得出概念这一过程是自然的，是清楚的，是水到渠成的。之后通过一定的例题沟通数形关系，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。让学生逐步体会将几何问题代数化，用代数方法来研究几何问题的思想方法。