习题1.3教学内容分析

专题：空间几何体的体积问题

秦皇岛市第一中学

陈晔

一、教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》（人教A版）第一章“空间几何体”第三节《空间几何体的表面积和体积》小结。空间几何体的表面积和体积是三视图和直观图教学之后又一个关于空间几何体准确量化的一个重要手段，它进一步完善了空间几何体的研究体系。由于高考解答题第二问必考体积问题，所以有必要针对空间几何体的体积问题进行细致的探究，寻求多种解决体积问题的方法和思想，为高考做足准备。此外通过本节课的学习还能激发学生探究数学、应用数学的潜能,使学生更深地体会数学来源于生活，服务于生活。

二、学情调研

本节课之前学生已有一定的学习基础和学习方向。但总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不够深入，使得学生在体积求法的探究上有一定的难度，所以本节课教师将采取小组讨论的探究形式，使得学生对问题有一定的思考和探究。

三、教学目标

1、通过教师创设的一个平行六面体的例子，能够辨认出它是已知的四棱柱体积问题。

2、结合观察、猜想、类比、归纳，联想等方式，能够描述出从在平行六面体出发去研究三棱柱，进一步到三棱锥这一分割法的思维链，

1

从而形成知识之间的联系。

3、经历数学探究的过程，体会从三棱锥到三棱柱再到平行六面体这一补形法的思维链，熟悉并能充分运用补形法解决问题。

四、教学重点

体积求法中分割法与补形法的运用

五、教学难点

1.等价转化的数学思想

2.解决问题时如何找到突破口

教学过程

教学环节

复习引入

——体积公式

学生活动

教师活动

设计意图

回顾体 从体积 播放PPT 积公式，加深公式引

对公式的理入，回顾 复习时间：1分钟。

解和记忆，为知识

本节课体积的探究做准备。

教师设置问题情境，由教师选择一名学生来回答问题。

问题一：什么是平行六面体？

问题二：面BB1C1C能否当成该四棱柱的底面？

可能出现的情况：如果学生保持沉默或没有 如果不换底面，这个问题是不能使用体积公式来求解的，强化等体积转化的思想方法，使学生产生进一步探索问题的动创设情境 导入新课

学生在[例1]如图平行六面体

了解平行六面体这ABCDA1BC11D1中，

点A1到平面BB1C1C的距离为一概念的h，四边形BB1C1C面积为S，前提下，不难利用则平行六面体

变换底面V ABCDA1BC11D1的体积来解决问

题

2

AB

CD

AB

[收获]等体积转化——平行六面体变换底面。

D1C111

时间：

2分钟

思路，教师提示他回想机。

刚复习过的体积求解方法。

通过对上述研究结果的总结，教师板书求体积的另一种方法——等体积转化

学生口述结果，

教师加以引导讲

解。

[变式1] 已知斜三棱柱

ABCA1B1C1中，点A1到面

BB1C1C的距离为h，四边形

BB1C1C面积为S，则该三棱

柱的体积=

C

AB

提出问题

111学生可能没有思路，或者直接把面BB1C1C当成底面从而直接套柱体体积公式，于是教师可以提出以下问题加以引导：

CAB通过学生的合作交流，畅所欲言，确定思问题1：本题中的面路，让更多的BB1C1C能否看作三棱学生有的放柱的底面？

矢，明确解决

问题2：本题中的三棱问题的方向。柱与上面题中的特殊四棱柱(平行六面体)有什么联系？

问题3：祖暅原理一节中将三棱柱分割的思想大家还记得吗？对本题的求解有没有帮助？

学生画图可能不标准，必要时教师用ppt加以辅助演示。

通过对上述研究结果的总结，教师板书求体积的另一种方法——补形法

培养学生深刻思考的好习惯，让学生真正参与课堂的教学，并能用简洁准确的语言

探究知

学生11：

A

D1A1B1DCB 新 其它同学可纠正—方案错误。

C13

[收获]补形法:我们可以将三棱柱补成平行六面体来解决问题

学生2—方案2：

C AB

C

AB

[收获]分割法:我们可以将三棱柱的体积问题分割成两个棱锥来解决。

111。

时间：

10分钟

[变式2] 学生尝如图三棱柱ABCA1B1C1中，

试分割法，找到若VABCA1B1C130,

题中关键VMABC6,

的四棱锥的体积求则VMABC111法。

选取C

AB学生代表展示自己M的解题过程。

C

A时间：

B5分钟

解决方案：

VMBB1C1CVA1BB1C1C展示方式：

投影仪

111用祖暅原理解决三棱锥体积问题的方法有的学生已经遗忘，教师应适时利用ppt给学生复习一下相关内容，再次强调“一柱分三锥，三锥皆相等；一柱分两锥，两锥1:2”这一重要结论。

通过对上述研究结果的总结，教师板书求体积的另一种方法——分割法。

探究过程中学生可能无从下手，提出问题加以引导：

问题1：三棱柱被分成几部分？具体是哪几部分？

问题2：

四棱锥MBB1C1C的体积如何求？底面积和高能求出来吗?

表达自己的想法。

让学生明确数学中的转化与化归思想，化未知为已知。

线面平行的前提下直线上任一点到平面的距离都相等，因此将四棱锥的顶点M换到它所在棱的端点位置是解决四棱锥体积问题的突破口，从而培养学生的转化与化归能力。

通过对上述研究结学生体会果的总结，教师板书求分割法和等体积的等体积转化—体积转化相

4

2VABCA1B1C120

3 则VMABC111302064

[收获] 1.

分割法和等体积转化相结合；

2.等体积转化——线面平行类型。

[变式3] 学生不如图三棱柱ABCA1B1C1中，难利用变点A1到面BB1C1C的距离为换顶点来h，四边形BB1C1C面积为S，解决三棱则三棱锥B1A1BC的体积

锥的体积= 问题。

C

AB

111—线面平行类型。

结合求体积的过程，培养多种方法相结合来解决问题的习惯。

该题目比较简单，教师采取直接提问的形式，必要时稍加引导即可。

让学生明确数学中的转化与化归思想，化未知为已知。

CAB解决方案：

方案1：

VB1A1BCVA1BB1C111

ShSh326方案2：

一柱分三锥，

三锥皆相等

[收获] 1.

等体积转化——三棱锥换顶点类型

2.分割法

直接将学生的结果用投影仪展示或者口述。

时间：

3分钟

学生可能直接转换顶点，教师刨根问底儿：为什么想到换顶点？

预设：现在的底面三角形面积不可求，高也不可求。故而寻求其它方式解决问题。

通过对上述研究结果的总结，教师板书求体积的等体积转化——三棱锥换顶点类型。

5

[变式4] 小组讨如图三棱柱ABCA1B1C1中，论，在上点A1到面BB1C1C的距离为一问基础h，四边形BB1C1C面积为S，上想办法取A1B1中点M，则三棱锥化未知为BMB1C的体积= 已知。

C

AMB

时间：

2分钟

111

ABC解决方案：

方案1：

先换顶点，再在棱上缩放

VBMB1CVMBB1C11

VA1BB1CSh212方案2：

先在面上缩放，再换顶点

1VBMB1CVBA1B1C2

11VA1BB1CSh212[收获] 等体积转化——三棱锥换顶点和按比例缩放相结合。

一名代表展示小组讨论的成果。

展示方式：学生用投影仪展示小组讨论结果。

针对讨论当中的问题，适当引导学生：1.现在的底面三角形面积不可求，高也不可求。学生容易想到寻求其它方式来解决问题。抛开高不说，从底面积找突破口，将三棱锥顶点换为M。

2.接下来的问题是求三棱锥MBB1C的高（即点M到底面

的距离）。由于侧BBC1棱中点到底面的距离等于顶点到底面距离的一半，所以问题就迎刃而解了。

3.思考：除了棱上进行缩放以外，可不可以有其它位置上的缩放？

M

N

通过对上述研究结果的总结，教师板书求体积的等体积转化——三棱锥换顶点和按比例缩放相结合。

展示加点评时间：

4分钟

学生经历两种等体积转化求体积的过程，逐步形成多种方法相结合来解决问题的习惯。

6

知识应用，融会贯通：

小组讨 [例2] 如图，在多面体论在学习了诸多求ABCDEF中，四边形ABCD是体积的方法以后如边长为3的正方形，EF//AB，何融会贯通，鼓励3EF ,EF到平面AC的距2组员畅所离为2，求该多面体的体积。

欲言。

FE时间：

3分钟

DCAB解决方案：

（类型一）线段EF的位置不作特殊化处理

方案1：分割法

FE

N

DC

B

AM

方案2：补形法

EFG一名代表展示小组讨论的成果。

展示方式：学生用投影仪展示小组讨论结果。

DCAB求法1：

将大三棱柱再分割成两个小三棱柱，借助小四棱锥

FMNCB的体积去求小三棱柱的体积，相加即得本题结果。

7

针对讨论当中的问题，适当引导学生：1.该几何体是规则几何体吗？（不规则）

2.不规则几何体采用什么方法解决？（分割或补形） 3. 本题对线段EF待在底面的相对位置

（左、中、右？）有没有具体要求？

通过上述一题多解通过各种手的研究过程，总结不规段将不规则则几何体求解体积问几何体体积题中如何找到突破口。

问题转化成

规则几何体展示加点评时间：

的体积问题，13分钟

化未知为已

知，强化转化

与化归的数

学思想。

EFGDNCAMB求法2：

利用补形法将大三棱柱补成平行六面体去求体积，乘以即可。

EFG

56MDNCAB

（类型二）将线段EF位置特殊化

方案1：面ADE垂直于底面ABCD: 小法1：分割法（直三棱柱加小四棱锥）

EFN

DCAMB小法2：补形法（补成直三棱柱）

EFNG

DC

方案2：线段EF恰好待在正方形ABCD的正上方

8 AMB

AEFDNQCMPB

HGEFDNQCAMPB方案3：让点D待在墙角，三条棱DA、DC、DE两两垂直

EF

DNCAMB

EFG

[收获] 通过各种手段将不规则几何体体积问题转化成规则几何体的体积问题，化未知为已知。

DCAB

课堂小结：

一、求体积方法：

1.

公式法

2.

分割法

3.

补形法

4.

等体积转化

二、思想：等价转化

学生谈收获，谈体会，在本节课中学会了什么，掌握了什么。

让学生谈收获，巩固本节课所学重点难点；教师进一步引导学生思考求体积的多种方法

时间：1分钟

让学生谈收获，会加深学生对知识间的内在联系的理解。

9

1.线面平行

2.按比例缩放（棱/面）

布置作业：

印发的资料

板书设计

专题：空间几何体的体积问题

分割法

分割法

巩固知识，加深理解记忆。

平行六面体 三棱柱 三棱锥

补形法

补形法

等体积转化

思想：等价转化

1．线面平行

2．按比例缩放（棱/面）

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