1.2.1 中心投影与平行投影教案设计（一等奖）

【新课教学过程设计（一）】

第一章

空间几何体

1.2.1

中心投影与平行投影

1.2.2

空间几何体的三视图

【本节教材分析】

（一）三维目标

1.掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法. 2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识. 3.给出一些几何体的三视图，通过感知和操作，让学生还原成几何体，掌握由俯视图入手分析几何体结构特征的方法，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.

（二）教学重点

画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.

（三）教学难点

正确识别三视图所表示的空间几何体，培养学生空间想像能力. （四）教学建议

1.画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”.

2.教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点. 3.三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问

题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流. 4.值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.

【新课导入设计】

导入一：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？

我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图. 教师指出课题：投影和三视图. 导入二：“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？

教师点出课题：投影和三视图. 【课堂结构】

提出问题

①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?

图1 ②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的? ③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2 ④图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？

⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别？

图3 活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片. ②从投影的形成过程来定义. ③从投影方向上来区别这三种投影. ④根据投影线与投影面是否垂直来区别. ⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点. 讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影. ②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕. ③图2（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图2（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影. ④图2（2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图2（3）中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影. ⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图. 知识归纳：投影的分类如图4所示.

图4 提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分？

②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？

③一般地，怎样排列三视图？

④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗？

讨论结果：①三视图包含正视图、侧视图和俯视图. ②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图）；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图. ③三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边.如图5所示.

图5 ④投影规律：

（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度. （2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图——长对正；主、侧视图——高平齐；俯、侧视图——宽相等.

画组合体的三视图时要注意的问题：

（1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同. （2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置. （3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出. （4）要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前后对应.

由三视图还原为实物图时要注意的问题：

我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图. 【典例剖析】

例1

画出圆柱和圆锥的三视图.

活动：学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成.

解：图6（1）是圆柱的三视图，图6（2）是圆锥的三视图.

(1)

(2) 图6 点评：本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图（几何体的实物图）和画图（三视图）相结合. 变式训练1

说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.

(1)

(2) 图7 答案：图7（1）是正六棱锥；图7（2）是两个相同的圆台组成的组合体.

例2.右图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状。

分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体。

答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体，该几何体的形状如图所示。

变式训练2:某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（

）

A．三棱锥

C．四棱台

B．四棱锥

D．三棱台

分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。

答案：B 例3．如图甲所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的

分析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图乙（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图乙（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图乙（3）。

答案：（1）（2）（3）

点评1：本题主要考查平行投影和空间想象能力。画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影。如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间相象来完成。

变式训练:如图（1）所示，E、F分别为正方体面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）的

分析：四边形BFDE在正方体ABCDABCD的面ADDA、面BCCB上的投影是C；在面DCCD上的投影是B；同理，在面ABBA、面ABCD、面ABCD上的投影也全是B。

答案：B

C 课堂小结

本节课学习了：

1.中心投影和平行投影. 2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律. 3.由三视图判断原几何体的结构特征. 作业

。

。

习题1.2

A组

第1、2题.

【当堂检测】

一、选择题

1．若某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(

)

A．三棱锥

C．四棱台 B．四棱锥

D．三棱台

2．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为(

) A．棱锥

C．圆锥 B．棱柱

D．圆柱

3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

)

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

A．①② C．①④ B．①③

D．②④

4．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为(

)

5．(2010年北京高考)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为(

)

6．(2011年全国新课标卷)在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为(

)

二、填空题

7．下列图形：①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．

其中投影不可能是线段的是________．

8．如图所示为一个简单组合体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．

参考答案：

1.解析：根据三视图的特征可以断定是四棱锥，由正视图和侧视图可知，该四棱锥底面中，必定有一组对边平行，另一组对边不平行．

答案：B

2.解析：由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又正视图与侧视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥．

答案：C 3.解析：①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④正四棱锥，正视图和侧视图相同．

答案：D 4.解析：根据几何体的结构特征知，主视图为B. 答案：B 5.解析：由几何体的正视图、侧视图，结合题意，可知选C. 答案：C 6.解析：由正视图和俯视图可知，该几何体为一个半圆锥与一个三棱锥的组合体．故侧视图为两个三角形的组合图形，且交界处为可见的，故选D. 答案：D 7.解析：线段的投影是点或线段；直线的投影是点或直线；圆的投影是线段或圆或椭圆；梯形的投影是线段或梯形；长方体的投影是平行四边形．

答案：②⑤

8.答案：圆锥

圆柱