探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优质课一等奖教案

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

弥勒市第一中学

潘华

一、

祖暅原理

为了求一般柱体、锥体的体积，我们简要介绍一下祖暅（gèng）原理. 祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县（今河北省涞源县）人，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等. 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积. 祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论.

二、柱体与锥体的体积

下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式. 设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使他们的下底面在同一平面内（图3）.根图3据祖暅原理，可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是我们得到柱体的体积公式

V柱体Sh

其中S是柱体的底面积，h是柱体的高. 设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体（例如一个棱锥和一个圆锥），使它们的地面在同一个平面内（图4）.根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等.这就是说，等底面积等高的两个锥体的体积相等. 如图5，设三棱柱ABCABC的底面积（即ABC的面积）为S，高（即点A到平面ABC的距离）为h，则它的体积为Sh.沿平面ABC和平面ABC，将这个三棱柱分割成3个三棱锥.其中三棱锥1、2的底面积相等（SAABSABB），高也相等（点C到平面ABBA的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面积（SBBCSBCC）和相等的高（点A到平面BCCB的距离）.因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是Sh. 13

AB3S1S1CAAABBC21A21CA3CBCC图4B图5B三棱锥AABC（即三棱锥1）如果以ABC为底，那么它的底面积是S，高是h，而它的体积是Sh.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一. 事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为V锥体=131Sh

3这就是锥体的体积公式. 柱体和锥体是两种基本几何体，它们的体积公式有着广泛的应用. 三、球体的体积

先来研究半球（半径为R）的体积计算.为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的，使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体. 如图6（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为lr，rR2r2，于是截面面积S1πr2π(R2l2)πR2πl2.S1可以看成是在半(1)径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆，所得圆环的面积. 为此，我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上（图6（2））. 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面.有上述可知：

圆环大圆半径为R，小圆半径为l图6(2)，面积S2πR2πl2π(R2l2).所以，S1S2.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即

112V球πR2RπR2RπR3

2334所以球的体积 V球πR3

3根据祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体.