小结第二课时教学实录

第二章

点、直线、平面之间的位置关系(1)

考点1

1．三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上．

2．共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合．

3．三线共点问题

证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

共点、共线、共面问题

[典例1] 在长方体ABCD­A1B1C1D1

中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：CE，D1F，DA三线交于一点．

证明：

连接EF，D1C，A1B. ∵E为AB的中点，F为AA1的中点，

1∴EF∥A1B，EF＝A1B. 2又∵A1B∥D1C，

∴EF∥D1C，

1∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝D1C，

2∴D1F与CE相交于点P. 又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，

∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点，

又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

根据公理3可得P∈DA，

即CE，D1F，DA三线交于一点．

[对点训练] 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

证明：如图所示，

连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1. ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理BD1⊂平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．

考点2

1．空间中平行关系的相互转化

平行关系

2．判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

(1)利用线面平行的判定定理；

(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．

3．判断面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理；

(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；

(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

[典例2]

如图，在直四棱柱ABCD

­A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：

(1)平面AD1E∥平面BGF；

(2)D1E⊥AC. 证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，

∴D1F∥BE且D1F＝BE. ∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF. 又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，

∴D1E∥平面BGF.

∵FG是△DAD1的中位线，

∴FG∥AD1. 又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，

∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1，

∴平面AD1E∥平面BGF. (2)连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD. ∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1. ∵D1E⊂平面BDD1B1，∴D1E⊥AC. [对点训练]

2．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，1棱EF∥BC且EF＝BC. 2求证：FO∥平面CDE.

证明：如图所示，取CD中点M，连接OM, EM，

1在矩形ABCD中，OM∥BC且OM＝BC，

21又EF∥BC且EF＝BC，则EF∥OM且EF＝OM. 2所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM. 又因为FO⊄平面CDE，EM⊂平面CDE，

所以FO∥平面CDE.

考点3

1．空间中垂直关系的相互转化

垂直关系

2．判定线面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理；

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；

(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；

(4)利用面面垂直的性质．

3．判定线线垂直的方法

(1)平面几何中证明线线垂直的方法；

(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 4．判断面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. [典例3]

(2016·九江高一检测)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE. 证明：(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC. 又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，

CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE. [对点训练]

3．(2016·汕尾模拟)如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB. 求证：a⊥β. 证明：

∵a∥α，过a作平面γ交α于a′，则a∥a′.

∵a⊥AB，

∴a′⊥AB. ∵α⊥β，α∩β＝AB，

∴a′⊥β，∴a⊥β.