习题2.2公开课教学设计模版

《垂直关系的性质》专题（理）

《垂直关系的性质》专题（理）

类型一

线面垂直的性质及应用

1、已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题真命题是

①若m⊥n,n⊂α,则m⊥α;[来源:Z.xx.k.Com]②若m⊥α,m⊂β,则α⊥β; ③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;

④若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n. 2、如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.

类型二

面面垂直的性质及应用

1、如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB.

2、如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点．

求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.

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《垂直关系的性质》专题（理）

类型三

垂直关系的综合应用

命题角度1

线线、线面、面面垂直的转化

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，

求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.

2、如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC. 求证：平面ABD⊥平面ACD.

命题角度2

垂直中的探索性问题

1、已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，AEAFE，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0ACAD(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

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＜λ＜1)．

《垂直关系的性质》专题（理）

2、如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (1)求证：D1C⊥AC1；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

课后训练

1．给出下列说法：

①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．

其中正确说法是

答案

①②③

2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(

) A．a⊥β

B．a∥β

C．a与β相交

D．以上都有可能

答案

D 3．已知直线l⊥平面α，直线m平面β.有下面四个说法：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β. 其中正确的说法是

答案

①③

4．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

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《垂直关系的性质》专题（理）

答案

5 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(

) A．平行

B．EF平面A1B1C1D1

C．相交但不垂直

D．相交且垂直

答案

D 6．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(

)

A．PD平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

答案

B 7．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系为

答案

垂直

解析：如图所示，在四边形ABCD中，

∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，

BD平面ABCD，

∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.

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《垂直关系的性质》专题（理）

8．下列说法中错误的是(

) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α所有直线都垂直于平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面τ，平面β⊥平面τ，α∩β＝l，那么l⊥平面τ

答案

A 9．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是(

) A．若l∥α，l∥β，则α∥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

答案

B 10．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有(

) B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

A．①与②

B．①与③

C．②与③

D．③与④

答案

B 11．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：

①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确的命题为________．

答案

①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确

12．如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．

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《垂直关系的性质》专题（理）

答案

2 解析：如图，连接BC，

∵二面角α－l－β为直二面角，

ACα，且AC⊥l，∴AC⊥β. 又BCβ，∴AC⊥BC，

∴BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝2. 13．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.

答案

7 14．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．

答案

3

15.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，

求证：平面SCD⊥平面SBC.

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《垂直关系的性质》专题（理）

证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面SCD. 又因为BC平面SBC，

所以平面SCD⊥平面SBC.

116．如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分2别为线段AD，PC的中点．

(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.

证明

(1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC. 1由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，

2所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此，四边形ABCE为菱形，

所以O为AC的中点．又F为PC的中点，

因此，在△PAC中，可得AP∥OF. 又OF平面BEF，AP

平面BEF，所以AP∥平面BEF. (2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，

所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD. 又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.

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《垂直关系的性质》专题（理）

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC. 又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC. 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．

(1)如果二面角A－DE－C是直二面角，求证：AB＝AC；

(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE. 证明

(1)过A作AM⊥DE于点M，

则由题意可得AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC. 又AD＝AE，所以M是DE的中点．

取BC的中点N，连接MN，则MN⊥BC，又AM∩MN＝M，

所以BC⊥平面AMN，所以AN⊥BC. 又N是BC的中点，所以△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC. (2)取BC的中点N，连接AN. 因为AB＝AC，所以AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，

所以MN⊥BC，又AN∩MN＝N，

所以BC⊥平面AMN，所以AM⊥BC. 又M是DE的中点，AD＝AE，所以AM⊥DE. 又因为DE与BC是平面BCDE内的两条相交直线，

所以AM⊥平面BCDE. 又因为AM平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCDE. 18．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②所示．

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《垂直关系的性质》专题（理）

(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．

(1)证明

因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又BC平面A1CB，所以DE∥平面A1CB. (2)证明

由已知得DC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥DC.又DE⊥A1D，A1D∩CD＝D，A1D，CD平面A1DC，

所以DE⊥平面A1DC，而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，

又BE平面BCDE，所以A1F⊥BE. (3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，PQ，QE，

则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C平面A1DC，所以DE⊥A1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，DE，DP平面DEP，所以A1C⊥平面DEP，

从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，且Q为A1B的中点时，A1C⊥平面DEQ. DEP.

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