小结教学设计实例

高三数学选修2-1《圆锥曲线定义的灵活应用》教学设计

四川省金堂中学校数学组：伍玉松

课程类型

复习课

对接高考

圆锥曲线板块几乎年年高考都考22分，选择或填空共2个小题，10分，第21题12分，本节课突破选择题、填空题及解答题的第一问，力争人人得满分。第二问的定点问题、定值问题、最值问题另设专题。

在学习本节之前，学生对圆锥曲线有所理解，但是零碎、分散的，缺乏整体认学情分析

识与理性思考，知识体系还未形成。

教学重点

用定义解决轨迹问题、最值问题。

教学难点

结合已知和未知，联想定义寻找解题路径。

1.

知识与技能：

理解定义，掌握不变性。

教学目标

2.

过程与方法：

利用定义所包含的不变性解决轨迹问题、最值问题。提升数形结合能力，用定义搭建从已知到未知的桥梁。变向不变转化。

3.

情感、态度与价值观：

体验解题过程，感受用数学解决实际问题，培养钻研精神。

教学方法

“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段

利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计

教学环节

问题

教师活动

学生设计活动

意图

高考链圆锥曲线板块几乎年年高考都考22分，选择或填空共2个接

小题，10分，第21题12分，本节课突破选择题、填空题及解答题的第一问，力争人人得满分。第二问的定点问题、定值问题、最值问题另设专题。

教师提节（一）

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．

出问题，认

圆的二要素(定点、定长)是圆心和半径．

真查看222

圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)

和听取学生答1、复习其中(a，b)为圆心，r为半径．

案，学引入

2、例1、(1)设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P生讨论22

作圆C：x＋y－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，问题时巡视并

B，则四边形PACB的面积的最小值为________．

和学生

(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动交流

教学环1、复习圆的定义

教师分析

学生精准理解

学习

学生认真思考

学生独立写出解答过程。

第一掌握不变性，

第二变向不变转化。

1

2、合作点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆探究

C面积的最小值为(

) A.45π B.34π

教师讲评

解决问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．如本例(2)中，将面积问题转化为了点到直线的距离。

学生自己独立做后组内核对。

学生自己经历讨论过程.

积极回答问题

展示合作成果。

通过讨论加深印象：圆的讨论向定点圆心、定长半径转化。

C．(6－25)π D.54π

（1）解析

依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，

易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，而四边形PACB的面积等于

2S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|因此四边形PACB的面积的3、交流最小值是3. 展示

(2)∵∠AOB＝90°∴点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，

∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，

∴OC=CD=R 当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|. 又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，

∴圆C的最小半径为25，

答案

（1）

3 (2)A 练习1、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

) A．7 B．6 C．5 D．4 教学环1、椭圆定义

节（二）

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)

的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

1、复习椭圆的定义 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

教师提出问题，认真查看和听取学生答案，学生讨论问题时

学生认真思考

学生独立写出解答过

第一掌握不变性，

第二变向不变转化。

2

巡视并和学生引入

(2)若a＝c，则集合P为线段；

交流

(3)若a

22

2、例2、已知圆(x＋2)＋y＝36的圆心为M，设A为圆上教师讲

任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，评

2、合作则动点P的轨迹是(

)

探究

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

解决问题的主

要思路

思维点拨

主要考虑椭圆的定义；

是利用椭圆的

答案

B

定义将

解析

点P在线段AN的垂直平分线上，

问题转

故|PA|＝|PN|，

化。

又AM是圆的半径，

∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，

3、交流由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．

展示

x2y2

练习2、设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P

2516

为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的

最大值为________．

答案

15

解析

|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，

|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，

易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，

此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，

故|PM|＋|PF1|的最大值为15

1、复习(1)若a>c，则集合P为椭圆；

程。

学生自己独立做后组内核对。

学生自己经历讨论过程.

积极回答问题

展示合作成果。

通过讨论加深印象：椭圆的问题

向两定点焦点

定长|MF1|＋|MF2|＝2a转化。

3

教学环1、双曲线定义

节（三）

1、复习引入

2、合作探究

3、交流展示

教师提学生平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小出问认真于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线题，认思考

真查看

的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

和听取学生学生答独立1、复习双曲线的定义

案，学写出

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、生讨论解答c为常数且a>0，c>0. 问题时过巡视并程。

(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

和学生

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

交流

学生(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．

自己22222、例3、已知圆C1：(x＋3)＋y＝1和圆C2：(x－3)＋y教师讲独立＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的评

做后

组内轨迹方程为____________________．

核思维点拨

考虑定义法．

解决问对。

2y题的主

x2－＝1(x≤－1) 8要思路

如图所示，设动圆M与圆C1及圆是利用学生C2分别外切于A和B. 双曲线自己的定义经历根据两圆外切的条件，

将问题讨论得|MC1|－|AC1|＝|MA|，

转化。 过

程. |MC2|－|BC2|＝|MB|，

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

积极即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

回答所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 问题

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支

(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，

展示2合作其中a＝1，c＝3，则b＝8. 2y成2故点M的轨迹方程为x－＝1(x≤－1)．

8果。

2x

练习3、如图，F1，F2是椭圆C1：4

2＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，

第一掌握不变性，

第二变向不变转化

通过讨论加深印象：双曲线的问题

向两定点焦点

定长||MF1|－|MF2||＝2a转化。

4

A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(

) 36A.2 B.3 C. D.

22思维点拨

(1)依题意可求出a、c的值．

x2y2解析

(1)|F1F2|＝23.设双曲线的方程为2－2＝1. ab∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，

∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，

∴|AF1|＋|AF2|＝|F1F2|，

即(2－a)＋(2＋a)＝(23)，

c36∴a＝2，∴e＝＝＝.故选D. a22教学环1．抛物线的概念

节（四）

复习抛物线的定义

1、复习引入

2、合作探究

222222

教师提学生平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离出问认真相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直题，认思考

真查看

线l叫做抛物线的准线．

和听取学生22、例4、

已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，学生答独立→→P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，案，学写出生讨论解答则|QF|等于(

) 问题时过75巡视并程。

A. B. C．3 D．2 22和学生

答案

C 交流

→→→→解析

∵FP＝4FQ，∴|FP|＝4|FQ|，

学生|PQ|3教师讲自己∴＝. |PF|4评

独立如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，

做后解决问组内设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，题的主核|PQ||QQ′|3∴＝＝，

要思路对。

|PF||AF|4∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故是利用

抛物线

选C. 的定义学生思维升华

由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，将问题自己因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到转化． 经历

讨论焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途

过

程. 径．

第一掌握不变性，

第二变向不变转化

通过讨论加深印象：抛物线的问题

向定点焦点，定直线准线

5

练习4、已知抛物线y＝2x的焦点是F，点P是抛物线上23、交流的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求展示

出取最小值时点P的坐标．

思维点拨

|PF|等于P点到准线的距离．

解

将x＝3代入抛物线方程

y2＝2x，得y＝±6. ∵6>2，∴A在抛物线内部，如图．

1设抛物线上点P到准线l：x＝－的2距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，77|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，22此时P点纵坐标为2，代入y＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．

收获什1、用定义，变向不变转化，动点向定点转化，动长向定么

长转化。

2、圆的不变性：定点--圆心、定长--半径。

3、椭圆的不变性：定点—两焦点、定长—到两焦点距离之和。

4、双曲线的不变性：定点：两焦点、定长：到两焦点距离之差的绝对值。

5、抛物线的不变性：焦点、准线，距离相等，看到准线想焦点，看到焦点想准线。

1、已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(

) 111A．2，(4－5)

B.(4＋5)，(4－5) 22211C.5，4－5

D.(5＋2)，(5－2) 222、已知点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x＋y－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(

) A．3－2

2C．3－

2B．3＋2 3－2D.

2222

转化。

积极回答问题

展示合作成果。

教师后总结

学生先提炼

第一掌握不变性，

第二变向不变转化

课后作业

6 3、设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程

710为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的10点的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 x24、设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y2＝1上1022

1、B 2、A 3、B 4、D 5、12

86、

37、6

8、双曲线

9、y22＝x31－

9的点，则P，Q两点间的最大距离是(

) A．52

C．7＋2

B.46＋2 D．62 x2y25、已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若94M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________. x2y26、点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个2516焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________．

7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．

8、有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为______________ 9、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝1AB，点P在平面ABCD上，且动点P3到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是____________．

★教学后记★

课前教师结合高考对圆、椭圆、双曲线、抛物线进行了深入研究，提炼出圆锥曲线的共性，定义就是它们的不变性，解决问题的思路就是变向不变转化，课堂上围绕定义设计例题练习题，学生有了自己的思考收获，达到预期效果。学生在录播课上没有平时积极主动活跃。

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