1.2.1 充分条件与必要条件名师教学实录

1.2 充分条件与必要条件

1、设计思想：

新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生，促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识．这与建构主义教学观相吻合．本节课正是基于这样的理念，通过创设丰富的问题情境，引导学生主动探究，强调学生的主体性，使学生实现知识的建构，培养学生“用数学”的意识．在教学中尽量多地让学生亲身体验在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．

2、教材分析：

教科书结合实例给出推断符号“”和等价符号“”，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念．它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一．在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件．学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“若p则q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论．

新的国家标准规定：

符号“”叫做推断符号．“pq”表示“若p则q”，也表示“p蕴含q”，有时也用“pq”，“pq”还可写成“qp”．

符号“”叫做等价符号．“pq”表示“pq”且“qp”；也表示“p等价q”．“pq”有时也写成“pq”．

本节的重点与难点是关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断．

（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．

（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：

①首先分清条件是什么，结论是什么；

②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接法、间接法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

③最后再指出条件是结论的什么条件．

（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：

①若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

（4）若条件p以集合P的形式出现，结论q以集合Q的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判

1

断．

①若PQ，则P是Q的充分条件；

②若QP，则P是Q的必要条件；

③若PQ，则P是Q的充要条件；

④若PQ，且QP，则P是Q的既不充分也不必要条件．

（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题与逆否命题等价，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

3、学情分析：

虽然经过初中及高一的学习，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但学生在学习本节内容时的知识储备仍不够丰富．这些概念较抽象，与学生原有的思维习惯有所差异，理解和掌握这些内容有一定难度．结合以往的教学实践，我估计学生会在以下几个方面的学习中存在困难：⑴若pq，为什么把q叫p的必要条件；⑵在判断p是q的什么条件时，学生知道要判断p是否是q的充分条件，但会“忘记”还要判断p是否是q的必要条件．⑶在具体关系判断中，较难确定谁是条件p．为了突破难点，理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比较、识别中把握三个概念的内涵，教学中对这部分内容进行整合处理，第一课时完成三个定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练．基于本节内容特点，教学中通过师生对实例的考察研究，采用探究式教学法，通过师生互动来实现本节课的教学目标．对学生的要求，不可追求一步到位，要有一个随着学习的深入，逐步提高、完善的过程．

4、教学目标

1.知识与技能：

正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

2.过程与方法：

充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。 3.情感、态度与价值观

通过“pq”与“qp”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

5、教学重点与难点

1.重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．) 2.难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

3.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教学方法及教学准备

2

1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系，充要条件中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的，它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。

2. 由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。

3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明，为了能让学生能理解定义的合理性，在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。

4. 教学用具：多媒体

6、教学过程：

一、复习回顾

1、四种命题的形式与关系

22、试写出命题“若x>1,则x1”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假. 二、创设情境，新课引入

1、p: b是a（男性）的父亲 q：a是b的儿子

2、p : 外面下雨 q ：出门带雨伞

那么，p与q在数学中是什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件. 三、师生互动，新课讲解

问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？

(1). p:ab=0;q:a=0.

(2). p:两个三角形相似；q:两个三角形的对应角相等。

(3).p:x2=y2；q:x=y (4). p:x>a2+b2；

q:x>2ab。

推断符号“”的含义

“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）. q. 命题(2)、(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，

3

命题(1)为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”

说明：

“pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”，理解为“p”为“q”的子集。

1.什么是充分条件？什么是必要条件？

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知p分条件；q不是p的必要条件；

回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系. 例1

下列“若

p，则

q”形式的命题中哪些命题中的p是q的充分条件。

（1）p：x=1；q：x2-4x+3=0 （2）p：f(x)=x；

q：f(x)是增函数. （3）p：x是无理数；

q:x2是无理数.

（学生板演讲街，教师点评）

例2.

下列“若

p，则

q”形式的命题中哪些命题中的p是q的必要条件。

（1）p：x=y；q：x2=y2. （2）p：两个三角形全等；

q：两个三角形的面积相等. （3）p：a>b；

q:ac>bc. 解：（学生板演讲街，教师点评）

2．充分条件与必要条件的判断方法：

（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）

（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。

3．用集合的思想理解充分与必要条件

给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x

|x满足条件q},B={x

|x满足条件p} AB,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；

4．分析比较充分条件、必要条件与充分不必要条件、必要非充分条件和充要条件的区别和判定

命题：若p，则q

(1)若pq，且q

(2)若p

(4)若p

p.则P是q的充分不必要条件

q，且qp.则p是q的必要不充分条件

q，且q

p.则p是q的既不充分与不必要条件

q，那么就说：p不是q的充(3)若pq，且qp.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件

四、课堂小结，巩固反思

1、本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.

4

（1）若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件. （2）条件是相互的；

（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：

① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；

③ p是q的充要条件；

④ p是q的既不充分也不必要条件。

2、

注意的问题

（1）对本节的教学，不可拔高追求一次到位，而在今后的教学中滚动式逐步深化。

（2）从具体的、简单的例子由浅入深，突破难点，抓住重点，讲练结合。

例3.用集合的方法来判断下列哪个p是q的充分条件，哪个p是q的必要条件。

（1）p：菱形；q：正方形. （2）p：x>4；

q：x>1. 五、布置作业： 1.利用定义填空：

(1)x>-1___x>1; 2(2)x3x4

___x=3x4

; (3)两个角是对顶角________两个角相等; (4)a=b____a+c=b+c. 2.

从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”与“充要条件”中选出适当的一种填空：

(1) “两三角形全等”

是“两三角形相似”的

；

(2)“a=b”是

“ac=bc”的

; (3)“a≠0”是

“ab ≠

0”的

；

(4)“四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的

. 3.判断下列命题的真假：

22(1) “a>b”

是

“ab”的充分条件；

22(2) “a>b”

是

“ab”的必要条件；

22(3) “a>b”

是

“acbc”的充分条件；

(4) “a>b”

是

“a+c>b+c”的充要条件；

(5)关于x的方程axbxc0一个根为1的充分且必要条件是

2六、关于教学设计的思考

1. 本节课重难点是判断命题的充分条件，必要条件，充要条件的方法，所以这节课效果的好坏，体现在对这两点实现的程度上，因此，作业应围绕这两方面设计。

5

2. 充分条件、必要条件、充要条件是高中数学中几个重要的数学概念，它们之间有紧密的联系，如分开讲则不利于学生掌握，分析教材，联系实际，将本节内容安排了两个课时，第一课时讲清定义及简单的判断方法，第二节课加强这几个“条件”的应用，提高逻辑思维能力，本教案为第一课时。

3.

本节概念课理论较强，一般学生感到枯燥无味，因此，激发兴趣是关键，不断启发是手段，从而使学生为主体，教师为主导，师生互动达到教学目的。

七、板书设计：

为及时体现教材中的知识点和要点，便于学生理解掌握，板书设计如下：

1.2充分条件与必要条件

1、复习回顾 例1； 4、成果展示

2、简化定义 例2; 3、判别技巧 例3

6