3.1.3 导数的几何意义课堂实录【2】

导数的几何意义教学目标：教学重点：教学难点：教学过程：会用导数的几何意义解题，会解决三种类型的用导数意义求切线的问题.导数的几何意义.无切点的求切线方程的问题，导数的几何意义.一、旧知导入 导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k得到曲线在点x(x0,f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 二、典例分析

已知切点的切线方程

例1

已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

1【解析】

由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，x则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. 已知切线求切点

1例2 设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐x标为________．

【解析】

y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1111＝e0＝1.y＝x(x>0)的导数为y′＝－x2(x>0)，设P(m，n)，则曲线y＝x(x>0)在点P1处的切线斜率k2＝－m2(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

未知切点的切线方程

例3

(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(

)

A．2x－y＋3＝0

C．2x－y＋1＝0 B．2x－y－3＝0

D．2x－y－1＝0 (2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(

) A．x＋y－1＝0

C．x＋y＋1＝0 B．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 【解析】

(1)对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为k＝2x0.由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，

y0＝x0lnx0，∴设切点为(x0，y0)，又∵f′(x)＝1＋lnx，∴解得x0y0＋1＝1＋lnx0x0，＝1，y0＝0. ∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1. ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.

1.与切线有关问题的处理策略

1已知切点Ax0，y0求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′x0. 2已知斜率k，求切点Ax1，fx1，即解方程f′x1＝k. 3求过某点Mx1，y1的切线方程时，需设出切点Ax0，fx0，则切线方程为y－fx0＝f′x0x－x0，再把点Mx1，y1代入切线方程，求x0. 三、课堂练习

(1)(2018·山西临汾五校联考)已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(

) A．y＝2x＋3

C．y＝－2x＋3 B．y＝2x－3 D．y＝－2x－3 (2)经过原点(0,0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为________________．

(3)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．

解析：(1)设x>0，则－x<0，∵f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝xln(－x)＋x

＋2，∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2.∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2.∴f′(1)＝2，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是y＝2x－3.故选B. （2）当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0；当(0,0)不为切点时，设3232切点为P(x0，x0＋3x0)(x0≠0)，则切线方程为y－(x0＋3x20)＝(x－x0)(3x0＋6x0)，因为切线过原点，所以＝0. 332x0＋3x20＝3x0＋6x0，所以3x0＝－2，此时切线方程为9x＋4y1(3)设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·x＝lnx＋1，得切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)xlnx0＋1＝2，－x0，与y＝2x＋m比较得解得x0＝e，故m＝－e. －x0＝m，求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

四、布置作业