3.4 生活中的优化问题举例优秀教案

3.4生活中的优化问题举例

教学目标

【知识和技能】

（1）使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；

（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．

【过程和方法】

培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；

【情感态度和价值观】

进一步培养学生应用数学的意识。

教学重点.难点

【教学重点】

利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤

【教学难点】

对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

【学情分析】

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

【教学方法】

师生互动探究式教学

【教学过程】

一、复习回顾

请学生回答求最值的步骤

二、新课导入

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，例如有以下几个方面：

1、海报版面尺寸的设计；

2、圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题；

3、饮料瓶大小对饮料公司利润有影响；

4、效率最值问题。

导入问题：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们的价格如下表所示，则

（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？

（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？

规格（L）

价格（元）

2 5.1 1.25 4.5 0.6 2.5 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 运用什么知识解决优化问题? 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

三、知识应用，深化理解

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？利用导数去求最值。

教师对学生进行启发，建立函数关系，然后利用导数去求最值。

例2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

分析：设出半径和高，建立表面积的函数关系，因为V是定值，把R和h建立联系，这样就得出S关于R的函数关系，再利用导数去求最值。

教师对学生进行充分的启发，鼓励学生列出函数关系式，并用导数进行求

最值。

例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 教师鼓励学生尝试自主解决此题，对困难学生进行必要的解答帮助。

想一想：通过上面几个例子我们如何解决优化问题? 利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

四、课堂练习

练习1.一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？

练习2.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?

五、课堂总结

解决优化问题的一般步骤：

(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，

找出问题的主要关系；

(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，

建立相应的数学模型；

(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案。

注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。

六、课后作业

习题3.4 A组 2, 6

板书设计：

3.4生活中的优化问题举例

复习

导入

例1 例2 例3 解决优化问题的基本思路

练习1 练习2 总结

布置作业

课后反思：课后撰写反思

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