习题2.2优质课教案内容

8.4

直线、平面平行的判定及其性质

一、教材分析

空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学***面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面、平面与平面平行的判定及性质定理.本节重点是直线与平面平行的判定性质定理的应用. 二、教学目标

1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定性质定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质定理.3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.三、教学重点与难点

如何判定直线与平面、平面与平面平行，线面平行、面面平行有什么性质

四、课时安排

2课时

五、教学设计

知识梳理

1．直线和平面平行

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面．

(2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

用符号表示为：________________．

(3)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，________________________________．

用符号表示为：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．

2．两个平面平行

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行．

(2)判定定理：如果______________________________________，那么这两个平面平行．

用符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β．

(3)性质定理：如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

用符号表示为：__________________________．

基础自测

1．下列条件中，能判断两个平面平行的是(

)．

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是(

)．

A．a平行于α内的所有直线

B．α内有无数条直线与a平行

C．直线a上的点到平面α的距离相等

D．α内存在无数条直线与a垂直

3．已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，

上面命题中正确的是__________(填序号)．

探究突破

一、直线与平面平行的判定与性质

【例1】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．

方法提炼

1．判断或证明两直线平行的常用方法：

(1)三角形中位线；

(2)平行四边形；

(3)分线段成比例；

(4)利用公理4(a∥b，b∥c⇒a∥c)；

(5)利用线面平行的性质定理(a⊂α，a∥β，α∩β＝b⇒a∥b)；

(6)利用面面平行的性质定理(α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b)；

(7)利用线面垂直的性质定理(a⊥α，b⊥α⇒a∥b)．

2．判断或证明线面平行的常用方法：

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；

(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；

(4)利用面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．

二、平面与平面平行的判定与性质

【例2－1】如图，AB，CD是夹在两个平行平面α，β间的线段，且直线AB，CD是异面直线，M，P分别是AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面α．

π【例2－2】如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝，AB＝6AC＝2，BC＝2，D，E分别为AB，OB的中点．

(1)求证：CO⊥平面AOB；

(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．

方法提炼

证明面面平行的方法：

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

考题研习

立体几何主观题的规范解答

【典例】如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD．

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．

规范解答：(1)取BD的中点O，连接CO，EO．

由于CB＝CD，所以CO⊥BD．(2分) 又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，(5分) 因此BD⊥EO．

又O为BD的中点，所以BE＝DE．(6分) (2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN．

因为M是AE的中点，

所以MN∥BE．

又MN平面BEC，BE⊂平面BEC，

所以MN∥平面BEC．(8分) 又因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°．

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC．

又DN平面BEC，BC⊂平面BEC，

所以DN∥平面BEC．(10分) 又MN∩DN＝N，

故平面DMN∥平面BEC，

又DM⊂平面DMN，

所以DM∥平面BEC．(12分) 证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF．

因为CB＝CD，∠BCD＝120°，

所以∠CBD＝30°．(8分) 因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，

因此∠AFB＝30°，

所以AB＝12AF．(9分) 又AB＝AD，

所以D为线段AF的中点．(10分) 连接DM，由点M是线段AE的中点，

因此DM∥EF．

又DM平面BEC，EF⊂平面BEC，

所以DM∥平面BEC．(12分) 巩固提升

1．对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中是真命题的是(

A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α

B．若a∥b，b⊂α，则a∥α

C．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α

)．

D．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b

2．已知m，n表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：

m⊥αm⊥αm⊥α(1)⇒m∥n

(2)⇒n∥α

(3)⇒m⊥n

n⊥αm⊥nn∥α其中真命题的个数为(

)．

A．0

B．1 C．2

D．3 3．已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(

)．

A．m∥β且l1∥α

B．m∥β且n∥β

C．m∥β且n∥l2

D．m∥l1且n∥l2

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

5．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别为棱AD，AA1，AB的中点，求证：直线EE1∥平面FCC1．