2.2.4 平面与平面平行的性质特级教师教学实录

2.2.4 平面与平面平行的性质

【教学内容】

本节课的内容是高中数学必修2第二章《平面与平面平行的性质》.现实生活中，平面与平面平行的关系的应用随处可见.通过现实举例，使学生直观感知平面与平面的位置关系，体会平面与平面平行的结构特征及应用价值，从而激发学生的学习热情、形成正确的表象;再通过操作确认，思辩论证，进一步理解平面与平面平行的本质，进而归纳、概括出平面与平面平行的性质.这样，可以培养学生观察、发现的能力、空间想象能力，使学生在合情推理的过程中，体会空间问题平面化的基本思想；在对抽象出的数学模型的分析过程中，发展学生的几何直觉，为此定理的灵活应用奠定基础.在该性质应用的过程中，学生可以经历将平面与平面平行的问题转化为两直线平行，线面平行的问题，即将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，从而体会转化思想在解题中的应用，培养学生的推理论证能力. 【学情分析】

学生已经掌握了空间点、线、面的位置关系，学***面平行的性质和平面与平面平行的判断定理.学生已经初步掌握了空间位置关系，具有一定的空间想象力.学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力、逻辑思维能力以及合作交流等方面的发展不够均衡. 【教学策略】

本节课开始通过实际情景的提问，激发学生探究的热情.然后，利用探究发现式的教学方法，通过实物观察、猜想、操作确认等活动，引导学生归纳、概括出平面与平面平行时两个面内的线何时平行，总结面面平行的性质；再经过思辩论证，使学生理论上证明性质。在学生独立解决问题的过程中，得到学生对知识掌握程度的反馈信息. 本节课充分利用现代教育技术手段，采用探究发现式的教学策略. 【教学目标】

1.知识与技能：

（1）通过实例，了解平面与平面平行的特点；理解平面与平面平行的性质. （2）会用平面与平面平行的性质解决实际问题. 2.过程与方法：通过实例引入性质.关键是要培养学生分析和解决问题和转化问题的能力.

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3.情感态度价值观：

（1）平面与平面间的位置关系的判定与证明的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想.培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

【重点难点】

1.教学重点：理解平面与平面平行的性质

2.教学难点：利用平面与平面平行的性质证明. 【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

趣味情景导学

一块长方体木料，将木料

按虚线锯开，如图所示，

那么，所得的截面是什么

图形？

设计意图：通过实物情景的提问，引起学生思考，吸引学生的注意力，调动学生的学习积极性.使得学生带着问题进入研究，激发学生学习的兴趣，并体会数学来源于生活，有服务于生活.

观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1. 探究1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

探究2 平面ABCD的线m与平面A1B1C1D的1线n的位置关系是怎样的？长方体中，平面ABCD内哪些直线会与直线BD平行？怎么样找到这些直线？

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设计意图：性质的发现采用“直观感知—操作确认—归纳提炼”的过程，借助情景问题的设计和实物演示，使学生通过观察、操作、交流、探索、归纳，经历知识的形成和发展，由此并猜想出平面与平面平行的性质.培养学生自主探索问题的能力. （二）研探新知

归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言：//,a,ba//b.

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.

设计意图：在教学中培养学生自己获取知识的能力和逻辑思维能力及空间想象能力，不断提高学生的几何语言表达能力. 性质证明

例1、如图，已知平面α、β、γ满足//,a,b. 求证：a // b. 证明：因为a,b，所以a,b. 又因为//，所以a，b没有公共点. 又因为a，b同在平面γ内，所以a // b. 例2、求证夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知：//,AB//CD,A,C,B,D. 求证：AB = CD. 证明：因为AB // CD，所以过AB、CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于

a

b

AC和BD，因为α // β，所以BD // AC，因此，四边形ABDC是平行四边形，所以AB = CD.

设计意图：通过解读证明性质，加强对面面平行性质的认识和理解以及应用性质的能力.并让学生熟悉应用面面平行到线线平行的转化.

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当堂检测

命题角度

截面问题

解决----趣味情景

一块长方体木料，将木料

按虚线锯开，如图所示，

那么，所得的截面是什么

图形？

设计意图：解决开始的情景，做到前后对应.体会数学在实际生活中的应用.提升学生学习数学的热情和积极性.教育过程的规律表明：教师对学生的教育不是简单的给予，不是移植.知识的传授、智力的发展、能力的培养、思想品德的形成，都必须通过学生的积极思维运动才能实现.

例3、如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_________.

命题角度

由面面平行的性质定理求线段长

例4、平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长.

课后巩固练

1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.

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2. 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.

活动：由学生思考并找去解题思路后书写证明过程.教师对学生的回答加以点评，引导，

并巡视学生的解题情况对个别学生进行个别指导，最后书写证明过程，让学生对照更正. 解后反思

1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.

设计意图：帮助学生规范解题格式，进一步领会应用面面平行的性质证明线面平行于线线平行转化，体会转化思想在证题中的作用，培养学生推理论证能力. （三）归纳小结

1、平面与平面平行的性质：

性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：//,a,ba//b. 2、通过对性质定理的学***家应注意些什么？

3、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？

设计意图：回顾教学内容，帮助学生使所学知识系统化，有利于学生抓住重点、掌握结构、领会原理、融会贯通，有利于认识结的内化和发展. （四）板书设计

一、面面平行的性质

命题角度1 例3

例1

命题角度2

例4

引申

例2

二、性质应用

当堂检测

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