2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计及说课稿

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2.3.1直线与平面垂直的判定与性质

一、教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理；

（2）掌握判定直线和平面垂直的方法；掌握直线和平面垂直的性质．

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论．

2、过程与方法（1）感受直线和平面垂直的定义的形成过程；

（2）探究判定直线与平面垂直的方法．

3、情感态度与价值观：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知．

二、教学重点、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究．

三、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系．

模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系．

（二）研探新知

1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直．记作：l ⊥α

．

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫做垂足．

2、直线与平面垂直的判定：

（1）探究：准备一块三角形纸片．

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）．

①

折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？

②

如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？（AD是BC边上的高）

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（2）思考：

①

有人说，折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α

，你同意他的说法吗？

②

如图，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？

（3）归纳结论：（直线与平面垂直的判定定理）

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：a,b,abA,la,lbl．

作用：由线线垂直得到线面垂直．（线不在多，相交就行．）

强调：①

定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

②

定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．

3、实际应用，巩固深化

例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂直，为什么？

分析：AB⊥BC，AB⊥BD，且B、C、D三点不共线．

课堂练习：已知三角形ABC，直线l ⊥AB，l ⊥AC，求证l ⊥BC．

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例2：直线a、b和平面α有以下三种关系：（1）a // b，（2）a，（3）b，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并判断其真假．如果是真命题，请予以证明；如果是假命题，请举一个反例．

命题1：如图，已知a//b,a，求证：b．

证明：在平面α内作两条相交直线m，n，因为直线a，根据直线与平面垂直的定义知am,an，又因为a // b，所以bm,bn，又因为m,n，m，n是两条相交直线，所以b．

归纳：两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．

命题2：如图，已知直线a

⊥α ，b

⊥α

，那么a // b．

证明（反证法）假设a、b不平行，且bO，b是经过点O与直线b平行的直线．直线b与b确定平面β，设c，则Oc．因为a

⊥α 、b

⊥α

，所以a

⊥c

、b

⊥c，又因为b//a，所以bc．这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b与c垂直，显然不可能，因此a // b．

归纳（直线与平面垂直的性质）：垂直于同一平面的两条直线平行．

说明：可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系．

（三）课堂练习：课本P67，练习1、2．

1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC．

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2、过三角形ABC所在平面α外一点P，作PO ⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．

（1）若PA = PB = PC，∠C = 90°，则点O是AB边的

点．

（2）若PA = PB = PC，则点O是三角形ABC的

心．

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是三角形ABC的

心．

（四）归纳小结：

（1）获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程．

（2）直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？

（五）课后作业：

1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC⊥BDD1B1．

2、如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，O、D分别为AB、AC的中点，求证：OD⊥平面PAC．

3、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN⊥CD．

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教学反思：

三垂线定理

一、教学目标

1、知识与技能：理解三垂线定理及其逆定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质；掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤．

2、过程与方法：通过三垂线定理的证明及应用，体会空间线线、线面垂直关系的转化．

3、情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点．

二、教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用．

难点：三垂线定理中的垂直关系及证明过程．

关键：把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线．

三、教材分析：

1、“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一，它是在研究了空间直线和平面垂直的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理，它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义．

2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理及其逆定理；比较两个定理；应用定理证题．

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由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，因此要重视让学生动手做模型，教师演示指导，让学生直观地感受到空间线面、线线关系的变化，再在教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系，逐步推理、猜想命题，论证命题，从而发现定理，揭示定理的实质，在定理论证中进一步发展定理，引出逆定理，再进行比较，从而更进一步地把握定理的关键．对定理的应用，只要求学生在理解定理的基础上，理清应用定理证题的一般步骤，学会证明一些简单问题．

3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用．

四、教学过程

（一）复习和引入新课

提问：（1）直线和平面垂直的定义是什么？（直线垂直于平面内的任意一条直线．）

（2）直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

（3）如图，如果PO⊥平面α，PA与平面α交于点A，则PO为平面α的垂线，PA为平面α的斜线，连接垂足O与斜足A的直线OA叫做斜线PA在平面α内的射影．

（二）猜想和发现

1、揭示问题，引导探究

根据直线和平面垂直的定义知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直．进一步，平面内的任意一条直线是否都和平面的一条斜线垂直？（否）是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直？

2、模型演示

引导学生用三角板和铅笔在桌面上搭建模型（如图）．

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如图表示平面的斜线（PO）在平面内有垂线（a），且有无数条．这些直线应具备什么条件，即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？

指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型（如图），使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律，经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时，便与斜边垂直．

3、结论：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

（三）证明定理

实验得出的结果是否正确还得进行证明．

已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，a,aOA（如图）．

求证：a⊥PA．

分析：证明两直线垂直，可转化为证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，从本题条件看，PO在平面PAO内，只要证明a⊥平面PAO即可．

证明：因为PO，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA．

（四）揭示定理

上面命题反映了平面内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理，下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来．

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂新人教版数学

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直．

三垂线定理的实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理．这个定理之所以著名，不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法，为研究计算空间角、空间距离奠定了基础，而且这个定理的证明方法——“线面垂直法”，也是一种非常重要的方法．

刚才我们由a与PA、AO垂直得到了a与平面PAO垂直，现在我们再看，由于PA与a总垂直，那么当a与PO垂直时还会有a⊥平面PAO吗？进一步可得到什么结论？（a⊥AO）这样我们又得到了一个重要定理：

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．

请同学们写出证明过程，并与原定理进行对比．

（五）原、逆定理的比较

相同点：（1）结构相同：都是由线线垂直推证线线垂直；

（2）证明方法相同：都采用了线面垂直法．

不同点：（1）用途不同：原定理是用来证空间两直线垂直；逆定理是用来证平面上两直线垂直．

（2）条件与结论不同：原定理：“与射影垂直”“与斜线垂直”；逆定理：“与斜线垂直”“与射影垂直”．

（六）定理的应用

例1：如图，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，连结PA，求证：BC⊥PA．

分析：PO是平面的垂线，PA是平面的斜线，BC在平面ABC上，所以，欲证BC⊥PA，只需证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．

证明：连结AO并延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影．

又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA．

小结：使用三垂线定理证题的一般步骤是：

一定——定平面及平面内的一条直线；二找——找平面的垂线、斜线及射影；三证——证明平面内一直线与射影垂直．

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由于逆定理与原定理的实质相同，结构相似，因而使用时也可以按以上步骤进行，这对我们在复杂图形中使用定理很有好处．

例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：

（1）A1C⊥BD；

（2）A1C⊥BC1；

（3）A1C⊥平面BDC1．

4、探究：如图，直四棱柱ABCDABCD（侧面与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，ACBD？

解：连结AC，因为AA平面ABCD，所以AC为AC在平面ABCD内的射影，由三垂线定理知，当ACBD时，有ACBD，即四边形ABCD的对角线互相垂直时，ACBD．

（七）归纳总结

1、本节课重点学习了三垂线定理及其逆定理，它们是空间两线垂直的判定与性质定理，要牢固掌握，并注意原、逆定理的区别与联系．

2、学会按“一定、二找、三证”的步骤应用两个定理证明线线垂直．

（八）布置作业

1、已知点O是△ABC的BC边上的高上的任意一点，且OP⊥平面ABC，求证PA⊥BC．

2、如图，PD⊥平面ABC，AC = BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC．

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3、如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、PD，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由．

教学反思：

直线与平面所成的角

一、教学目标

1、知识与技能：理解并掌握直线与平面所成的角的定义，熟记直线与平面所成角的范围，会求直线与平面所成的角．

2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法．

3、情感态度与价值观：

（1）培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．

（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想．

二、教学重点：直线与平面所成的角的定义、范围与计算．

难点：角的寻找（垂线）．

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三、教学过程

（一）创设情景，引入新课

复***面的垂线：垂直于平面的直线．

平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线．

射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影．

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．

三垂线定理及其逆定理的证明：线面垂直法．

问题：如图，E为长方体ABCD—A1B1C1D1的边AB上任意一点，直线AA1，A1E，A1B中哪些与底面ABCD垂直？

D 1

A 1

D A E B B 1

C 1

C

从位置关系来看，同为直线，但它们的相对位置是不同的，如何刻画直线与平面的位置关系？

模型演示：笔与桌面的位置关系．

（二）研探新知

1、直线与平面所成角的定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

注：l ⊥α时，所成角为90°；l // α时，所成角为0°．范围：[0,2]．

课堂练习：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？

P α

A O

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2、应用举例：

例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：

（1）直线A1B和平面A1B1CD所成的角；

（2）直线DB1与平面ABCD所成角的正弦值．

解（1）连结BC1交B1C于点O，连结OA1，

因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，

因为BCC1B1为正方形，所以B1C⊥BC1，

又A1B1B1CB1，所以BO⊥平面A1B1CD，

D 1

A 1

B 1

C 1

D A B C 所以∠BA1O为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，且∠BOA = 90°，

设正方体的棱长为a，则A1O2a,OB2a，

2所以sinBA1OOB1，得∠BA1O = 30°，

A1B2所以直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．

（2）学生练习．

小结：求直线与平面所成的角一般要有三个步骤：

（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；

（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；

（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．

例2：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC = 90°，AB = BC = 1．

（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

（2）若直线A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1—ABC的体积．

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（三）课堂练习

1、已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为3，求直线AB和平面α所成的角．

2、求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值．

A B C

D

3、如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD // BC，PD : DC : BC = 1 : 1 :2，求直线PB与平面PDC所成角的大小．

P D C A

（四）作业：

B

例2，课堂练习2题．导与练P55，1 ~ 11．

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二面角及其平面角

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）学会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用．

2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．

3、情感态度与价值观：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力．

二、教学重点：平面与平面垂直的判定；

难点：如何度量二面角的大小．

三、学法指导：实物观察，类比归纳，语言表达．

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

实例：（1）修筑水坝时，为了使坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．

（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

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问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

演示：把纸对折，观察其形状，并进行归纳：

角

A

边

图形

顶点

O

边

B

B

α

从平面内一点出发的两条射线（半定义

直线）所组成的图形

构成

表示

2、二面角的度量

问题：我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？

应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）

射线

—

点（顶点）一

射线

∠AOB

成的图形

半平面

一

线（棱）一

半平面

二面角α

–

l

–

β或α

–

AB

–

β

从空间一直线出发的两个半平面所组二面角

A

梭

l

β

归纳（二面角的平面角）：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l，OB ⊥l”；

（2）∠AOB的大小与点O在l上位置无关；

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（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，范围：[0,]；

（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角．

3、两个平面互相垂直的概念

观察：教室相邻的两个墙角与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数．

两个平面互相垂直：两个平面所成的角为直二面角，记作：．

演示：课本与桌面垂直．

（三）求二面角的大小

例1：如图，在三棱锥V—ABC中，VA = VB = AC = BC = 2，AB =23，VC = 1，试画出二面角V—AB—C的平面角，并求它的度数．

课堂练习1：（1）在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数．

（2）如图，四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，试画出二面角V—AB—C的平面角，并求它的度数．

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例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求

（1）二面角A1—CD—B的大小；

（2）二面角C1—BD—C的平面角的余弦值；

（3）二面角A—BD1—C的的平面角的余弦值．

课堂练习2：（1）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱A1B1的中点，求二面角M—BD—A的平面角的正切值．

（2）如图，已知平面α，β，且α∩β = AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足，

①

判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；

②

若PC = 5，PD = 8，PC = 7，求二面角α—AB—β的大小．

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（四）课堂总结

1、二面角的平面角必须具备三个条件：

（1）角的顶点在二面角的棱上；

（2）角的两边分别在二面角的两个半平面内；

（3）角的两条边分别与二面角的棱垂直．

准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键．

2、确定二面角的平面角的方法：

（1）定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．

（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线（交线）所成的角，即为二面角的平面角．

（3）垂线法（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：

一找——找平面及平面的垂线；

二证——证明斜线或射影与棱垂直；

三求——求出所得二面角的平面角的大小．

（五）布置作业：

课堂练习1、2．（共4题）

教学反思：

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平面与平面垂直的判定与性质

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理；

（2）能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题；

（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．

2、过程与方法：从开放性的角度设计问题，引导学生建立新的认知结构，挖掘学生的创造潜能．

3、情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力．

二、教学重点、难点：判定定理、性质定理的证明及其应用．

三、学法指导：直观感知、操作确认，猜想与证明．

四、教学过程

（一）由开放题设计知识的产生过程

问题导入：直线a和平面α，β有以下三种关系：①a⊥β，②aα，③α⊥β，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明．

学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，能构成三个不同的命题：(1)a;(2)a;(3)a

．

aaa其中（1）是真命题，（2），（3）均是假命题．

（二）用开放的思维探索命题的真假

1、证明命题（1）为真

分析：设α∩β = CD，欲证α⊥β，只须判断二面角α

–

CD –

β为直二面角．为此，作OB⊥CD，得其二面AO角∠AOB（如图）．AOOBAOB90，从而证明了α⊥β．

OB新人教版数学

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A

a

D

O

B C

图1

归纳（两个平面垂直的判定定理）：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

符号语言：l,l．

作用：由线面垂直得到面面垂直．

2、考察命题（2）的真假

由α⊥β，α内的直线a不一定能与β垂直（反例如图）．

a

图2

问题：对于命题（2），能否在α⊥β，aα的条件下，再增加某些条件，使a⊥β的结论成立呢？

引导学生分析，发现增加“a垂直于α与β的交线”的限制条件后，就能判定a⊥β．

证明：在β内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角．

由知AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB

⊥β．

归纳（两个平面垂直的性质定理）：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

符号语言：设,CD,AB,ABCD，则有AB

⊥β．

作用：由面面垂直得到线面垂直．

3、考察命题（3）的真假

途径1：结论开放．α⊥β且a⊥β不一定能得到aα，但可以判断a与α的位置关系是什么？（平行或在平面内）

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途径2：条件开放．为了得到aα这个结论，需要增加什么条件？（由途径1可知：为使a∥α不成立，a须经过α内的一点P．）

思考：（1）设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？

分析：过一点只能作一条直线与已知平面垂直．（答：直线a必在平面α内）

归纳：,a,Paa．

（2）已知平面α、β和直线a，若α

⊥β，a

⊥β，a，则直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a与平面α平行）

归纳：,a,aa//．

探究：已知平面α、β和直线a，若α

⊥β，AB,a//,aAB，则直线a与平面β具有什么位置关系？（a

⊥β）

4、应用举例

例：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．

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证明：设圆O所在平面为α

，由已知条件，

PA

⊥α

，BC在α内，所以PA⊥BC，

因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是圆O的直径，

所以∠BCA是直角，即BC⊥AC．

又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，

所以BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC．

5、探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？

拓展：哪些直线互相垂直？线面垂直呢？

（三）通过开放性练习的研究深化对知识的认识

课堂练习：直线a和平面α,β有以下三种关系：①a⊥α，②a∥β，③α⊥β，以其中两个作为条件，另一个作为结论，构成三个命题，试探讨其真假．

（四）课堂总结

1、直线与平面垂直的判定：l,l．

2、直线与平面垂直的性质：（1）设,CD,AB,ABCD，则有AB

⊥β．

（2）,a,Pa（五）作业：课堂练习．

教学反思：

a；,a,aa//．

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