2.2.2 椭圆的几何性质第二课时教学实录

课题：2.2.2 椭圆的几何性质

授课教师：江都区丁沟中学 秦明方

苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1

教学目标：

知识与技能: 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率，掌握a,b,c的几何意义以及 它们的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法.

过程与方法: 利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和历程，培养学生观察，分析，逻辑推理，理性思维的能力.情感、态度与价值观:通过自主探究、交流合作使学生亲身经历体验研究的艰辛，从中体会合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的

学习精神和探索勇气.通过多媒体的展示，让学生体会椭圆结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质. 教学重难点：

重点：利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质. 难点：椭圆几何性质的形成过程；掌握椭圆离心率的求法，领会离心率是刻画椭圆扁

圆程度的量. 教学方法与教学手段：

本节课采用创设问题情景-学生自主探究-师生共同辨析研讨-归纳总结组成的探究式

学习方式，使用投影仪，多媒体等辅助教学. 教学过程：

一、情境问题：

方程x22y24表示什么曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？

学生活动过程：

情形1：列表，描点，连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围；

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情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；

情形3：方程变形，求出a,b,c,联想椭圆画法，利用绳子作图；

情形4：只做第一象限的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形. 教师点评：能够抓住椭圆的范围，对称性，关键点作图，下面我们进一步利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质. 二、引导评价，探究新知

设置问题，学生思考：与圆的方程相比，椭圆的标准方程点？

1）这是一个二元二次方程；

2）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1；

3）方程中x2和y2的系数不相等. 【问题1】结合椭圆的标准方程的特点，研究椭圆曲线的范围. 22yx情形1：将221(ab0)变形为2=1-20得x2a2,从而有axa .abbax2a2y2b21(ab0)有什么特x2y2同理，我们也可以得到y的范围byb. x2情形2：如果两个非负数之和等于1，那么这两个数都不大于1，所以21，

ay21,即-axa,byb. 2b教师点评：从方程的角度，利用代数法可得椭圆曲线的范围，它位于直线xa

和yb所围成的矩形里. 【问题】继续观察椭圆标准方程的特点，从代数角度研究椭圆的对称性

展示学生的研究成果，体现学生的思维过程：以x代x，方程不变------图形关于y轴对称；

以y代y，方程不变------图形关于x轴对称； 以-x,-y代x,y, 方程不变------图形关于原点对称；

教师：图形的对称其实是由图形上每个点对称所形成的，因此，我们只要从点的坐

标入手即可得出标准方程下的椭圆，坐标轴是对称轴，原点是对称中心.

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【问题3】利用方程求出椭圆与对称轴的交点坐标.

令x0

，得yb

；

令y0

，得xa . 从而得出交点坐标A1(a,o),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b). 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点；

长轴，短轴：线段A1A2,B1B2分别叫做长轴和短轴 .a,b分别叫做长半轴长,短半轴长. 【思考】

已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置？

【问题4】请大家利用所得出的以上性质画出椭圆xx2y21和2516252y241的简图，观察这两个椭圆，你能发现什么？

情形1：两个椭圆的图形不一样，一个较圆，一个较扁。

教师：也就是说两个椭圆的扁平程度不一样，为什么会产生这样的差异呢？

情形2：从方程看b不一样！第一个椭圆中b4b242，，第二个椭圆中。a555a5第一个椭圆较圆，第二个椭圆较扁。

情形3：c2a2b2,也可用刻画. 教师：与从本质上而言没什么区别，都可以用来刻画椭圆的扁圆程度.我们把刻画椭圆扁平程度的量称为离心率，通常指椭圆焦点偏离中心的程度，即离心率e2ccc，因此，我们统一用的值来刻画椭圆的扁平程度.

当e越接近于1，椭圆2aaabacaca越扁；e越接近于0,椭圆越圆.（不妨对确定的a进行研究，c越大，焦点距离中心越远，椭圆越扁。）

通过我们大家的共同努力，我们观察并证明了椭圆的几何性质，请大家完成下列表格. 标准方程

图

形

范围

对称轴

x2a2y2b21(ab0)y

y2a2x2b21(ab0)y

0

x 0 x

|x|≤

a , |y|≤

b

|x|≤

b , |y|≤

a

y轴

x轴长轴长2a短轴长2b

3 x轴短轴长2by轴长轴长2a

顶点坐标

(a,0)(0,b)

(b,0)(0,a)c0e1(e)离心率

a三、应用新知，解决问题

例1、求椭圆16x225y2400的长轴长和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. （学生口答，教师板书。）

解：椭圆方程可以化为标准形式x2y21。从方程可知a5,b4,c25163。

2516因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a10和2b8，离心率ec3，两个焦点坐标分a5别是F1(3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别为A1(5,0),A2(5,0),B1(0,4),B2(0,4). 【练习】

求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率. 1）x29y281

；

2）25x29y2225; 3）16x2y225; 4）4x25y21; 例2 椭圆C1:9xy22236

和椭圆C2:2x216y2121更接近于圆的是 . 【练习】椭圆C1:9x4y1216例3如图，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为36

和椭圆C2:x2y21更接近于圆的是 . 圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1c1a2c2；②c1c2a1a2a1c1a2c2；③c1a2a1c2；④。其中正确的式子的序号是 答案：②③

分析：根据图象可知a1a2,c1c2，进而根据基本不等式的性质可知a1c1a2c2；进而判断①不正确；根据a1c1PF,a2c2PF可知a1c1a2c2,故②正确；因为椭圆轨道Ⅰ比椭圆轨道Ⅱ扁，所以e1e2，即④不正确．③正确；

c1c2a1a2，故y211的离心率是，求m的值. 【思考题】若椭圆255+m四、总结反思：

1、这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？

4 x2

学生：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。会解决已知椭圆基本量

求椭圆的标准方程；会根据椭圆的标准方程研究椭圆的性质。 2、你是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？

师生共同总结：研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质 （定义域、值域、奇偶性、单调性等）。本节课主要以曲线的方程为工具，利用代数方法研究曲线的性质，是解析几何研究曲线的常用方法，研究时可以用从特殊到一般的方法。

五、作业布置：

感受理解:课本第36页,练习1，4;习题2.2 2,8. 六、教学设计说明：

本节课采用“引导-探究式”教学方法，借助多媒体辅助教学，从方程的角度用代数的方法研究椭圆的几何性质.整个过程遵循学生的认知规律，使学生在做中学,学中思,亲身体会创造的过程,充分展示思维差异,培养血神的自主探究能力,逻辑推理能力,掌握获取知识的方法和途径,真正体现了学生学习知识过程中的主体地位. 一、教学目标设置方面

设置三维教学目标，注重学生的认知培养和情感发展. 二、教学过程方面

1、创设问题情境是激发学习兴趣的有效途径,问题的设置有利于学生从多个角度进行思考和探究,培养学生的发散思维,第一个问题的解决就体现了二元二次方程的研究,为利用方程研究几何性质打下基础. 2、辨析过程中重视学生的思维起点,通过彼此交流,发现问题,共同探讨,得到统一的认知. 3、整个教学过程中抓住椭圆标准方程的特点不放松,引导学生探究如何利用代数法研究椭圆的性质,在学生表述过程中,重视学生的思维方式,培养学生正确处理问题的思路,引导学生反思,深化知识的形成过程,完善认知结构,掌握研究的方法和思路,拓宽思维角度,提高思维层次. 4、围绕本节课重难点设置例题与练习，题目难度不大，便于对知识的理解和巩固,思考题是本节课研究方法的延伸,也是一种更深层次的体验. 5、反思总结用问题给出，由学生自主概括回答，培养学生多质疑，多反思，多总结的好习惯.

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