本章小结名师教学设计1

反三角函数高三复习课教学案例

一、高考要求

根据上海市《全日制高级中学数学学科课程标准（修订本）》，参照上海市教育委员会而印发的《关于本市高三年级数学内容调整和数学进度安排的意见》，确定对反三角函数的认知水平为理解层次——指对反三角函数中数学概念或定理、公式、法则等有理性认识，能用自己的语言进行叙述和解释，知道它们的由来，并了解它们的应用及与其他知识间的联系。

二、说明

综合高考要求及实际高考命题分布，不难发现：对反三角函数要求不高，只须会简单应用，不必拘泥于烦琐的计算及复杂的变形。而应跳出反三角函数自身范围，将其视为考察函数的载体和工具，结合函数的定义域，值域及单调性、奇偶性予以重视。这样，即跳出了知识上的简单重复，又培养学生实际分析问题，解决问题的能力；同时又更好的巩固了相关函数的内容。

三、本人实际操作浅析

1、

简单知识点回顾

让学生在课外自行完成总结表，既培养了学生总结的能力，又节省了课堂时间。在投影了几个学生总结表的基础上，通过学生间的评价不断完善，形成共识，最后得到下表。

定义域

值域

奇偶性

单调性

图象

Y=arcsinx [-1、1]

[-Y=arccosx [-1、1]

[0、π] 非奇非偶函数

减函数

Y=arctgx R （-、]

22、）

22奇函数

增函数

奇函数

增函数

642-5-5-55-2-2-2-4-4-4

说明：反三角函数的基本性质是基础，脱离了基础而空谈能力无异于“空中楼阁”是不切实际的。因此，知识点回顾及分析必不可少。

2、

常见题型本质分析

Ⅰ用反三角函数的形式表示已知角

-6-6-6基本题

sinx=则x= 1

x[0,

] 22

6 _________________

变化

sinx=1

x[0,

] 32

则 x=arcsin1

3__________________

13

x[π,π]

321则 x=π+ arcsin

3拓展

sinx= -

___________________________ ≤x≤时，才可由sinx=a (a≤1)直接写出x= arcsina，当22x[-、]时，则可用诱导公式进行转化，使该角在[-、]，然后再用反正弦表示。

2222分析：只有当-本质：把非主值区间转化为主值区间

Ⅱ

计算三角函数值

基本题： sin(arcsin33)=

22 ________

变化：

sin(arcsin13-)=

226 __________

拓展：

sin(arcsin1322-)=

366 _________________ 本质：把反三角形式的角理解成普通的角。

这两个例题，基本例题由学生口答，变化和拓展由学生观察，分析它们内在的联系。如果学生对变化过程有困难，教师可以适当提醒。

Ⅲ

有关反三角函数的性质

A、

关于求定义域、值域

(1)

求y=arcsin(x3)的定义域

1x31解：arcsin(x3)0  x[3,4] arcsin(x3)22

说明：学生可能因为分析不全面从而导致错误，因此特别提醒求定义域注意多重限制条件。

12arccos(x+x+1)的值域

22解：

-1 x+x+11  x[-1,0] 2 设 t= x+x+1 (x[-1,0]) 3 t[,1]

413



y[0,arccos] 24（2）求y=

说明：提醒学生求值域要学会整体法处理，同时注意限制条件。

B、关于求反函数

（1）求y=3sin

解：y=2arcsin

(2)

求f(x)=2arcsin(x-1)的反函数

解：y=sin x[-,]的反函数

2x x[-3,3] 3x+1 x[-,] 2

本质：即常规求反函数的的方法，只须注意区间的限定，把非主值区间转化为主值区间上来处理。（这也是学生常犯的错误，忘记处理区间的变化）

C、关于反三角函数奇偶性

（1）

y=-arccosx奇偶性为______奇_______ 2

2（2）

y=-arccosx是奇函数，则等于 _____________

本质：实际是函数奇偶性判定及应用，反三角只是充当了载体。

D 、简单综合性问题

（１）

已知arccos(2x2-1)＜

arccosx

求x范围

12x211解：1x1

22x1x

x[-

12, -] 22（２）方程x2+33x+4=0的两个实根为x1 , x2 ,记=arctgx1 ,

=arctgx2

,求＋的值。

解：

x1 =tg

,

x2 =tg

而

x1 + x2= -33

且

x1

x2=4

故

x1<0

, x2<0

则

- <,< 0 2

则

-<+

<0

而

tg(+)=

故：+=

本质：反三角函数与其它知识点的整合

五、总结：

Ⅰ，Ⅱ类题系反三角函数自身知识点的简单应用，而Ⅲ类则跳出了反三角函数自身范围，与函数的相关知识点及不等式，方程等要素整合在一起，解决了只单纯复习反三角函数的问题，培养了学生知识迁移能力及综合分析能力。同时注意到教材对反三角的要求不高，因此，太复杂的综合内容不予以拓展。本节课由学生自行完成例题，教师带领学生分析题目的本质，从而让学生学会抓住问题的本质，举一反三。

总之，我认为简单的机械重现是教学的弊病，抓住问题的本质才是解决问题的关键；同时结合实际情况，为应试而不断重复训练，不如突破单个知识点的界限，实现多个知识之间的融合贯通，这也是当前考察学生能力的重点之一。

tgtg=3

1tgtg2

3