5.1 任意角及其度量精品学案

5.1(2) 任意角

教学目标设计

(1) 初步懂得以运动的观点观察角的形成过程，知道实际中存在超出0~360的角；

(2) 理解任意角和象限角的概念，会判断一个角所在的象限；

(3) 掌握终边重合的角的一般形式与集合表示法.

(4) 通过对任意角、象限角和终边重合的角这些概念地学习，提高观察、比较、分析、概括等能力.

教学重点及难点

重点：任意角的概念、掌握终边重合角的表示方法；

难点：终边重合的角的一般形式与集合表示法.

教学过程设计

一、情景引入

回顾：初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？

角是有公共端点的两条射线组成的图形，它的范围是0~360.

思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，讨论总结：通过实际操作我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时所成的不同的角,就是说角不仅仅局限于0~360之间，这说明了我们研究推广角的概念的必要性，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

二、学习新课

1、概念形成



角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从初始位置旋转到终止位置所形成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角AOB.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫做终边，射线的端点O叫

B做角的顶点. AO

为了区别按不同方向旋转而成的角，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.如果一条射线没有旋转时,我们称它形成了一个零角，记作0.（结合手表调整时间，对概念进行演示说明）

初中我们学过的角都是小于或等于360的非负角，现在角的概念这样推广以后，它包括了任意大小的正角、负角和零角.

例1：判断下列命题的真假并说明理由

(1)零角的始边与终边重合；

(2)始边与终边重合的角是零角.

解：(1)为真命题；(2)为假命题，反例360等.

[说明]确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程

为了便于在今后研究三角比，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.



象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.例如教材图5-3(1)中的60角、420角都是第一象限的角，(2)中135角、225角都是第二象限角.

特别规定：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

例2：回答下列问题

(1)锐角是第几象限角? (2)第一象限的角一定是锐角吗? (3)小于90的角一定是锐角吗? (4)0~90的角一定是锐角吗? 解：(1)第一象限；(2)不一定，反例361；

(3)不一定，反例零角或负角；(4)不一定，反例0,90.

[说明]：还可变式为直角、钝角提出相关问题.



终边重合的角

教材图5-3(1)中的60角、420角，这两个角有什么公共特点？答：它们终边重合.

除了这两个角之外，还存在其他的角也与它们拥有相同的终边吗？有多少个？答：有；无数多个.

420角为例.420角就与它们终边重合的这无数多个角是怎样形成的？以60角，

是在60角基础上再逆时针旋转一周，它的终边与60角的终边重合.（可适当再举一些例子，其中包括顺时针旋转得到的角）照此看来与60角终边重合的这无数个角就是在60角的基础上顺时针或逆时针旋转若干周之后得到的.

将角按两大要求放在直角坐标系中后，给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线,以它为终边的角不唯一.

我们可以用集合表示所有与60角终边重合的角

{k36060,kZ}. 当k0时，60，集合中也包括了60本身.

一般地,我们有:所有与角终边重合的角,连同角在内,可构成一个集合{k360,kZ},即任一与角终边重合的角,都可以表示成角与整数个周角的和. 例3：写出下列各终边相同的角的集合S，并把S中在-360---720间的角写出来

60　(2)-21　(3)36314

1　例4：判断下列各角属于哪个象限：

200　(2)2000　(3) -612

1　例5：在0~360的范围内，求终边在y轴上的角组成的集合.

答：{90,270}.

变式：写出终边在y轴上的角所组成的集合.

分析：(1) 终边在y轴正半轴上的角{(2) 终边在y轴负半轴上的角{k36090,kZ}

k360270,kZ}

k360902k18090；k360270(2k1)18090

答：{k18090,kZ}.

再变式：写出终边在x轴上的角所组成的集合.

答：{k180,kZ}.

k90,kZ}.

继续变式：写出终边在坐标轴上的角所组成的集合.

答：{例4：写出终边在第一象限的角所组成的集合.

答：{k360k36090,kZ}.

k36090k360180,kZ}.

k360180k360270,kZ}.

k360270k360360,kZ}.

k36090k360,kZ}

k360270k360,kZ}）

变式：写出终边在第二象限的角所组成的集合；

答：{写出终边在第三象限的角所组成的集合；

答：{写出终边在第四象限的角所组成的集合；

答：{或

{（误区：{三、巩固练习

练习5.1（1）

四、课堂小结

（1）角的概念；

（2）理解并掌握正角、负角、零角的概念；

（3）理解并掌握任意角以及象限角的概念；

（4）掌握所有与0~360终边重合的角（包括0~360角）的集合表示法；

（5）树立运动变化观点.