复习参考题优秀课堂实录

圆锥曲线学案

复习学案：椭圆及其性质

【考纲要求】

1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

【基础知识】

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（PF1PF22aF1F2）,这个动点P的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若PF1PF2F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；

若PF1PF2F1F2，则动点P的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：

，其中c2

；

2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：

，其中c2

；

注意：1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2）在椭圆的两种标准方程中，都有ab0和c2a2b2；

3）椭圆的焦点总在长轴上. （1）对称性：椭圆关于x轴、y轴及原点都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

（2）范围：axa，byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形内。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

x2y2②椭圆221(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，

ab ， ，

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22a,B1B22b。a和b分别叫做椭圆的 和 。

（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e

。

②因为ac0，所以e的取值范围是

. e越接近1，则c就越接近a，从而

ba2c2越小，因此椭圆越 ；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于 。

当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，

方程为x2y2a2。

（5）椭圆上的点到焦点的的最大值为___

___；最小值为_____

__。

x2y2y2x2注意：椭圆221，221(ab0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关abab系都有ab0和e点坐标也不相同。

问：如何由椭圆标准方程判断焦点位置？

1 xacos3．椭圆的参数方程（为参数）

ybsin4．求椭圆标准方程的常用方法：

①定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程；

②待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，

再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”。

知识点三：椭圆的简单几何性质

c(0e1)，a2b2c2；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦ax2y2椭圆：221(ab0)的简单几何性质

ab

圆锥曲线学案

列表整理椭圆的简单几何性质：

2标准方程

x2y221(ab0) y2xa2ba2b21(ab0)

图形

焦点

焦距

范围

性质

对称性

顶点

轴长

离心率

知识点四、点与椭圆的位置关系：

221、点P(xx0y00,y0)在椭圆外a2b21；

2、点P(x,yx220y000)在椭圆上a2b21；

223、点P(xyx0y00,0)在椭圆内a2b21

知识点五、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系的判定

x2y2把椭圆方程a2b21(ab0)与直线方程ykxh联立消去y，整理成形如

Ax2BxC0(A0)的形式，则：

相交：直线与椭圆相交，有两个公共点



相切：直线与椭圆相切，有一个公共点



相离：直线与椭圆相离，无公共点



2、直线被椭圆截得的弦长公式

若直线ykxb(k0)与椭圆相交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则

AB1k2x1x21k2(x1x22)4x1x211ky1

22y121k2(y1y2)4y1y2

【基本题型】

题型1：椭圆的定义

x21、椭圆25y2161上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为

x2y22、椭圆2591上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（

）

A、5

B、6

C、4

D、10 3、设F1、F2为定点，F1F26，动点M满足MF1MF26，则动点M的轨迹是（

）

A、椭圆

B、直线

C、圆

D、线段

4、已知Fx2y21、F2是椭圆1691的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为(

) A、8

B、16

C、25

D、32 5、已知椭圆4x29y236，F1、F2是它的焦点，AB是过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则ABF2的周长为

。

6、已知ABC的顶点B、C在椭圆x23y23上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是____________。

2

圆锥曲线学案

x2y27、椭圆1上一点P与两焦点F1、F2张角为直角(F1PF290)，则F1PF2的面2449积为

．

x2y236、已知椭圆C:221(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直ab3线交C于A，B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为（

）. x2y28、点P是椭圆1上一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，则F1PF2的面10064积为

．

题型2：椭圆的方程特征

x2y2x2x2y2x2y22A、1

B、y1

C、1

D、1

32128312422xy2，焦距为2，7、在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:221(ab0)的离心率为ab2求椭圆E的方程.

x2y21、椭圆1的焦距是2，则m的值等于

m42、若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

x2y23、设集合A{1,2,3,4,5}，a,bA，则方程221表示焦点在y轴上的椭圆有___个

ab4、已知方程xy1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为

. m12m22x2y28、椭圆221(ab0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，abPF1

22xy39、平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(ab0)

的离心率是，抛物线ab2x2y25、方程21表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是___________ m2m3

题型3：求椭圆方程

1、椭圆的一个焦点为F(23,0)，且长轴是短轴的2倍，则此椭圆的标准方程为

2、焦点在坐标轴上，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆的标准方程为

3、已知椭圆的两个焦点坐标是F1(2,0)，F2(2,0)，并且经过点P(,)，则椭圆标准方程是__

___

414，PF2，求椭圆的方程。

335232x2y24、过点(3,2)且与1

有相同焦点的椭圆方程是

945、与椭圆9x24y236有相同的焦点，并且经过点(2,3)的椭圆方程为__________ E:x22y的焦点F是C的一个顶点，求椭圆C的方程；

3

圆锥曲线学案

题型4：椭圆的几何性质

x2y21、椭圆1的焦点坐标是

, 离心率是________. 25169x2y22、已知椭圆方程为1，那么它的焦距是（

）

2011A、6

B、3

C、331

D、31

x2y28、F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1PF20，ab求此椭圆的离心率的取值范围。

9、设F1、F2是椭圆的两个焦点，以F2为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，若直线F1M与圆相切，则椭圆的离心率是_______________。

10、已知椭圆C:x22y24，求椭圆C的离心率. x2y23、已知椭圆方程为1，那么椭圆上横坐标为3的点M到它的右焦点的距离是

1612

题型6：直线与椭圆的位置关系

x2y24、椭圆1上一点P到右焦点的距离的最大值为

，最小值为

。

2595、椭圆的长轴长是20，短轴长是16，则此椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是

题型5：求椭圆离心率及其范围

1、椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则此椭圆的离心率为

2、椭圆2x2my22m与x22y26有相同的离心率e，则m的值是

．

3、已知直线l:x2y20过中心在原点的椭圆的左焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为

x2y21、直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是____ 5mx2y22、要使直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆21总有公共点，则实数a的取值范围7a是（

）

A、(0,1]

B、(0,7)

C、[1,7)x2y24、（2017浙江2）椭圆1的离心率是（

）

94A、(7,1]

D、(1,7]

3、设P是椭圆x22y22的短轴的一个端点，Q是椭圆上的一个动点，求PQ的最大值。

4、已知椭圆4x2y21及直线yxm，当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范

围。

4 25513

B、

C、

D、

39335、已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为_____________ 1x2y26、若椭圆1的离心率是，则k的值等于

. 2k897、P在椭圆，F1、F2是其两个焦点，PF1F2周长为6c（c为半焦距），则椭圆的离心率为____________；若PF2F1F2，PF1F23，则离心率为____________；若PF1F2是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是______________。