2.2.4 平面与平面平行的性质教案3

9．平面与平面垂直的判定及其性质

史强

学习目标

1．熟悉二面角、二面角的平面角、两个平面垂直的定义．

1．掌握判断面面垂直的判定定理，归纳证明两个平面垂直的方法。

2．能利用面面垂直的性质解决一些线面位置关系的证明问题．

3．掌握求二面角的常用方法．

4．体会面面垂直、线面垂直、线线垂直的转化．

一、夯实基础

基础梳理

1．二面角及二面角的平面角

从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作棱__________的射线，则两射线所成的角叫做二面有的平面角。

二面角的取值范围是≤≤．

2．平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角就说两个平面互相垂直。

3．平面与平面垂直的判定方法

（1）定义法。

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的______，那么这两个平面互相垂直。

符号语言：AB，AB。

[来源学§科§网Z§X§X§K]说明：由线面垂直可以得到面面垂直。

4．平面与平面垂直的性质

性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于_______的直线必垂直于另一个平面。

a，b，bab。

符号语言：，说明：由面面垂直可以得到线面垂直。

基础达标

1．已知l，m，有下列四个命题：

①//lm；②l//m；③l//m；④lm//。

其中正确的命题是（

）

A．②与④

B．③与④

C．①与②

2．下列四个命题中，正确的命题为__________（填序号）

①//，，则

②//，//，则//

，则 ，则//

③，④，

D．①③

3．如图，ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAABa。

PABOCD

（1）在四棱锥PABCD的五个面中，共有__________个直角三角形；

（2）二面角APDC的度数为___________；

（3）二面角BPAD的度数为___________；

（4）二面角BPAC的度数为___________；

（5）二面角BPCD的度数为___________。

4．在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点。求证：面EFC面BCD。

AEFBDC

5．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADEAF//DE，DEDAAF。求证：AC平面BDE．

EDFCAB

二、学习指引

自主探究

1．二面角与二面角的平面有什么区别与联系？

2．二面角的平面角有哪些求法？

3．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，作出二面角APBCPD为棱锥的高，的平面角．

PDCAB

4．拓展思维：

如图，直线AO与平面M斜交于O，AB平面M于B，直线OC平面M，作BDOC于BOC，AOC，

D，连接AD，设AOB，cos，cos之间的关系。

（1）研究cos，（2）斜线AO与平面M内任何一条直线所成的所有角中，哪个角最小？

AOMDBC

案例分析

1．（2012年全国卷，有改动）如图，在三棱柱ABCABC中，侧棱垂直底面，ACB，ACBCBDC。

AA的中点。证明：平面BDC平面，D是棱AAC1A1B1DCAB

CC【解析】证明：由题设知BCCC，BCAC，ACC，

所以BC平面ACCA。

又DC平面ACCA，所以DCBC。

由题设知ADCADC，

所以CDC，即DCDC。又DC所以DC平面BDC。

BCC，

又DC平面BDC，故平面BDC平面BDC。

CD//AB，ACBC。将△ADC沿AC折2．如图1，在直角梯形ABCD中，ADC，起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示。

在图2中，△BCD是直角三角形吗？为什么？

DCDCA(图1)BA(图2)B

【解析】取AC中点O连结DO，则DOAC，又面ADE面ABC，

面ADE面ABCAC，DO面ACD，从而OD平面ABC，

ODBC

又ACBC，ACODO，

BC平面ACD

BCCD，△BCD是直角三角形。

说明：只要已知平面与平面垂直，就要联想到面面垂直的性质定量，即在其中的一个平面内找公共棱的垂线，该垂线必垂直另一平面。

a，l//，l//.3．如图，，，

证明：（1）l//a；（2）l。

[来源:Z§xx§k.Com]ααγβ

【解析】（1）证明：过l作两个平面分别交平面，于b，c。

l//l//bb//cb//l//l//c[来源学科网]

又a，所以b//a，

l//b，l//a。

CD垂直于交线（如图）（2）证法一：在平面，内分别作AB，。

，AB。

，CD.AB//CD.AB//，AB//a.

l//AB，AB，l.

又a//l，GF分另垂直于两个平面的交线（如图）证法二：在内任取一点G，作GE，。

，GE，GEa.

a.

同理GFa，l。

由（1）知l//a，

ααγβαABγlαEαlGγFβ

说明：由线面平行联想到线面平行的性质定理，于是过直线作与平面相交的直线，面面垂直联想到面面垂直的性质定理，于是在其中一个平面内作公共棱的垂线．这是通用做法．

三、能力提升

能力闯关

1．在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成．．立的是（

）

．A．BC//平面PDE

B．DF平面PAE

C．平面PDF平面ABC

D．平面PAE平面ABC

2．已知平面，和直线，给出条件：

①m//；②m；③m；④；⑤//。

（1）当满足条件_____________时，有m//；

（2）当满足条件______________时，有m。

3．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E（如图），现将△ADE沿DE折起，使二面角ADEB为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于____________。

DMCAEB

拓展迁移

4．如图，三棱锥PABC中，PAPBPC，且△ABC为正三角形，M、N分别是PB、PC的中点，若截面AMN侧面PBC，求此棱锥的侧面PBC与底面ABC所成二面角的余弦值。

PNMBCA

5．如图，在四棱锥PABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，AB//CD，且CDAB，E是PC的中点。当平面PCD与平面ABCD成多大角时，BE平面PCD？

PEDCAB

挑战极限

6．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。

（1）求证：ADPB；

（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论。

PABDEC

课程小结

面面垂直的判断定理包含了数学的化归思想，即“线面垂直

面面垂直”，可简化为“要证面面垂直，先证线面垂直”．

面面垂直的性质定理是一个特别容易忽视的定理。

求二面角最常用的方法是“作垂线、再作垂线、连接”，即过己知点作平面的垂线，再过垂足作交线的垂线，连接第二个垂足与己知点，此法又称为“三垂线定理法”．

９．平面与平面垂直的判定及其性质

一、夯实基础

基础梳理

１.垂直．

３.垂线．

４.交线．

基础达标

１.Ｄ．①正确否定Ａ、Ｂ，③正确否定Ｃ，故选Ｄ．

２.①②．

３.５个；90；90；45；120．

（１）除了底面，侧面全是直角三角形．

BCD（２）又A为正方形，∴CDAD，∴CD平面PAD，

PA平面ABCD

∴PACD，又CD平面PCD，∴平面PAD平面PCD，

∴二面角APDC为90．

（３）∵PA平面ABCD，∴ABPA，ADPA，∴BAD为二面角BAPD的平面角

又BAD90，∴二面角BAPD为90．

（４）PA平面ABCD，∴ABPA，ACPA，∴BAC为二面角BPAC的平面角又ABCD为正方形，∴BAC45，即二面角BPAC为45．

（５）作BEPC于E，连DE．则由△PBC≌△PDC知BPEDPE，从而△PBE≌△PDE．

∴DEPBEP90，且BEDE，

∴BED为二面角BPCD的平面角．

[来源:学,科,网Z,X,X,K]PEAOBCD

∵PA平面ABCD，∴PABC，又ABBC，

∴BC平面PAB，∴BcPB，

∴BEPBBC6a，BD2a，

PC3BO3，

BE2∴BEO60，∴BED120．∴二面角BPCD的度数为120．

∴取BD中点O，则sinBEO说明：本题的模型可视为由正方体截得．

４．∵E，F分别是A，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF//AD，

∵ADBD，EF//AD，∴EFBD．

∵CBCD，F是BD的中点，∴CFBD．

又EFCFF，∴BD面EFC．

∵BD面BCD，∴面EFC面BCD．

５．因为平面ABCD平面ADEF，ADE90，

所以DE平面ABCD，（面面垂直的性质定理），所以DEAC．

因为ABCD是正方形，所以ACBD，

所以AC平面BDE．

二、学习指引

１.从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角．

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

二面角是一个立体图形，二面角的平面角是一个平面图形．

度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角．

２.（１）定义法：从二面角棱上一点的两个面内分别引棱的垂线．

（２）垂线法：在二面角的一个面上一点P引另一个面的垂线PB（B为垂足）．在另一平面内过B作棱的垂线BA（A为垂足），连接PA，则PAB即为二面角的平面角（如图）．

PPPBANAMDABC

（３）垂面法：过两个面的垂线PM、PN作平面PMN（即棱的垂面），则这个垂面与二面角两个面的交线MA、NA所夹的角就是二面角的平面角（如图）．

３．在平面PAB内作AMPB于M，连接CM，可证得CMPB，于是AMC即为所求．

４．（１）易得ADOC．有Rt△ADO中，cosAOD在Rt△ABO中，cos在Rt△BDO中，cos∴coscosODOD，即cos，

AOAOBO，

AODO，

BOBODODOcos．

AOBOAO即coscoscos．

（２）AOC可代表斜线AO与平面M内任何一条直线所成的所有角，观察可知，AOB是其中最小的角．

AOMDBC

三、能力提升

１．Ｃ．

２．③⑤；②⑤．

３．90

４．如图，由题意知三棱锥PABC为正三棱锥，

取BC得中点为O，连接PO与MN交于点D，

由于截面AMN侧面PBC，AMAN，则ADMN，ADPO，

又PDDO，则△AOP为等腰三角形且APAO．

设底面正三角形的边长为，则AO在△OPB中，POPB2OB23aAP．

2122a．

a，则ODPO242显然AOP就是所求的二面角，则cosAOPOD6．

AO6PNDCOBMA

５．取PD的中点F，连结AF、EF．

1E是PC的中点，∴EF//CD且EFCD，

21又AB//CD，ABCD．

2PFDABEC

∴平行四边形ABEF，BE//AF

∵PA、AB、AD两两垂直，∴PA平面ABCD，AB平面PAD，

∴CD平面PAD，∴CDAF，即CDBE．

PDA为平面PCD与平面ABCD所成的角记．

要使BE平面PCD，只须BEPC，即AFPD．

在Rt△PAD中只需PAAD，从而45．

因此，当平面PCD与平面ABCD成45时，BE平面BCD．

６．（１）证明：如图，取AD得中点G，连接PG，BG，BD．

∵△PAD为等边三角形，∴PGAD．

又∵平面PAD平面ABCD，

∴PG平面ABCD．

在△ABD中，DAB60，ADAB，∴△ABD为等边三角形．

∴BGAD，

又PGBGG，

∴AD平面PBG，

∴ADPB．

PFGAHBECD

（２）连接CG，DE，且CG与DE相交于H点，

在△PGC中作HF//PG，交PC于F点，连接DF，EF，

∴FH平面ABCD．

[来源:学。科。网]又FH平面DEF，

∴平面DEF平面ABCD．

∵H是CG的中点，∴F是PC的中点，

∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF平面ABCD．