3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课时教学实录

第三章

直线与方程

§3.1

直线的倾斜角与斜率

§3.1.1

倾斜角与斜率

执笔人：黎咏梅

课程标准：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

教学目标

知识与技能：

（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=y2y1（x1≠x2）及应用。

x2x1（2）理解直线的倾斜角的唯一性.理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过坐标法的引入，及对斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生联系、对应、转化等辩证思维。

教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 教学过程：

教学环节

新

课

引

入

教学内容

探究问题：在平面直角坐标系中，一条直线l的位置由哪些条件确定呢？

1．如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线l绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？

y

l

xO P

2．经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?

91 教师活动

1.引导启发学生思考并讨论：举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评价. 2.导出新课.

学生活动

学生思考，分组讨论并派代表回答讨论的结果。

直

线

的

倾

斜

角

1．直线的倾斜角的定义

2. 直线的倾斜角范围

1．引导学生定义直线的倾斜角，最后归纳并给出规范的定义。

2．强调：（1）倾斜角的两边：——x轴的正方向和直线向上的方向.（2）定义的完整性:分直线和x轴相交和直线和x轴平行或重合时分别定义. 3.根据直线的倾斜角的定义,说出倾斜角的范围是什么?

1.

试着给直线的倾斜角下定义

2.根据直线的倾斜角的定义,说出倾斜角的范围.

直

线

的

倾

斜

角

的

应

用

直

线

的

斜

率

1.图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

引导学生观察进一步熟悉倾图形并根据直斜角的定义,思线的倾斜角的考、回答. 定义作出判断，然后找学生回

答。

图2 2.直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐

角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

1.

探究问题：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

2.

斜率的定义. 1．画出一个山坡和斜面-——引导学生指出“坡度”并说明“坡度”是“倾斜角的正切”2.给出斜率的定义.3. 倾斜角是90的直线有斜率吗?

1.

结合生活实践引出斜的定义. 2.

理解并掌握完整的斜率的定义.

92

直

接

应

用

1.

已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1)α=0°；（2）α=30°；（3）α=45°；（4）α=120（5）α=135°

2.填空：

直线的倾斜方向

水平

左下右上

铅直

左上右下

倾斜角α的大小

1.

找学生直接口答第一题. 2.

结合第二题的结果引导斜率k的值学生弄清直和范围

线的方向,倾斜角与斜

率的对应关

系.

1.

引导学生推导过已知两点的斜率公式. 2.

提出问题(1)不论直线的倾斜角α是锐角还是钝角,斜率k的表示式是否一样?(2)当直线倾斜角α确定后, k值与P1,P2的顺序是否有关?(3)当直线与x轴平行和重全时,公式还成立吗?(4) 当直线与y轴平行和重全时,公式还成立吗?

1.

作题

2.

弄清直线的方向,倾斜角与斜率的对应关系.

过

两

点

的

直

线

的

斜

率

1.

探究问题:如图:给定

y

lp2(x2,y2)

lp1(x1,y1)

O x x1.

合作探究过已知两点的斜率公式的推导思路,然后自主完成推导过程. 2.

熟记公式. 2．推导过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)的直线的斜率公式k=.

y2y1. x2x1

93

知

识

应

用

1.已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率. 2.在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1,1,2, 及3的直线l1,l2，l3, 及l4.

1:求经过下列两点直线的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (1)C(18,8),D(4,4);

学生自主完成后,找学生板演后老师点评.归纳. 独立完成后订正

课

堂

练

习

(2) P(0,0),Q(1,3).

2:已知a,b,c是两两不等的实数,求经过下列两点的直线的倾斜角: (1) A(a,c),B(b,c);(2) C(a,b),D(a,c);

(3)P(b,bc),Q(a,ca);

3.

画出经过点(0,2),且斜率为2与2的直线.

1.直线的倾斜角和斜率概念. 2.过两点的直线的斜率公式.

见表后附作业

学生训练,老师巡视发现存在的问题. 找学生口答结果

完成练习,对答案,反馈存在的问题. 小

结

作

业

与生一起总结

总结本节课所学知识与方法

附作业: 1.已知直线斜率的绝对值等于1,求直线的倾斜角. 2.已知四边形ABCD的四个顶点是A(2,3),B(1,1),C(1,2),D(2,2),求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率. 3.已知直线的斜率k2,A(3,5),B(x,7),C(1,y)是这条直线上的三点,求x和y的值. 4.(1)m为何值时,经过两点A(m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12? (2) m为何值时,经过两点A(m,2),B(m,2m1)的直线的倾斜角是60? 板书设计: 一．新课引入

二.直线的倾斜角的定义。

三.应用一

教学后记：

94 四.

直线的斜率

应用二

五.

过两点的直线的斜率公式

六.知识应用

七.当堂达标

八.小结

九.作业

§3.1.2

两条直线的平行与垂直判定

执笔人：黎咏梅

陈文波审核人：程嘉川

王军

课程标准:.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

教学目标:

知识与能力

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.

过程与方法：

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

情感态度价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

教学过程: 教学环节

两

直

线

平

行

的

判

定

教学内容

探究问题一. 1.

平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？

2.设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,当教师活动

学生活动

1.找学生回答问题1 1.

回答问题1 2.引入问题2,引导学生完成以2.

与小组同下推理过程:

学合作探究完成问l1//l212k1k2

题2的思维3.总结归纳得出结论

与推理过4.强调(1)上面结论成立的条程. 件是两直线的斜率都存在.(2) l1//l2时, k1,与k2有什么关系?

k1,=k2也能说明l1,l2重合.

知

识

应

用

1.

已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系，并证明你的结论. 2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为

A（0，0），1.

引导学生分析,先画画草图,作出直观判断,然后用斜率相等去证明. 2.

找学生板演,完成后讲评,规范解答过程.

在老师引导下分析思路后完成该题的解题过程.

95

B(2,1)C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

两

直

线

垂

直

的

判

定

知

识

应

用

探究问题二. 1.设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,当与学生共同探究:1.演示让学生直观感知:两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 1.

直观感知:两条直线l1l2时, k1,与k2有什么关系？

2.两直线垂直的判定条件.

l1l2k1.k21. 2.

与学生共同探究如何从理论上证明这个结论. 3.对任意两条直线l1,l2,l1l2k1.k21. 都正确吗?

l1,l2的斜率分别为k1,k2, 2.

理解两直线判定定理的证明. 与本组同学讨论两个例子的解题思路,然后写出两个例题的解题过程..

1.

已知A(-6,0), 让学生分组讨论两个例子的解B(3,6), P(0,3), 题思路,然后找两名学生板演Q(-2,6), 试判断直线两个例题. AB与PQ的位置关系. 2. 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

1.

判断下列各对直线平行还是垂直：

（1）经过两点定时训练,巡查,进行个别辅导,纠正问题.

课

堂

练

习

独立完成后订正

A(2,3),B(1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为1的直线l2. (2) 经过两点C(3,1),D(2,0)的直线l3，与经过点M(1,4)且斜率为5的直线. 2.

试确定m的值,使过点

96

A(m,1),B(1,m)的直线与过点P(1,2),Q(5,0)的直线

(1)平行 (2)垂直

小

结

1.

两条直线平行与垂直的条件. 2.

运用两直线平行或垂直的条件时应注意的问题.

附在表格后面

与学生共同归纳小结. 整理归纳. 作

业

课后作业: 1.已知A(1,2),B(1,0),C(3,4)三点,这三点是否在一条直线上?为什么? 2.判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行? (1) l1的斜率为2，l2经过点A(1,2),B(4,8)；

(2) l1经过点P(3,3),Q(5,3)，l2平行于x轴，但不经过P,Q两点；

(3) l1经过点M(1,0),N(5,2)，l2经过点R(4,3),S(0,5).

3．判断下列各小题中的每对直线l1与l2是否垂直：

21，l2经过点A(1,1),B(0,)；

23 (2) l1的倾斜角为45，l2经过点P(2,1),Q(3,6)；

(3) l1经过点M(1,0),N(4,5)，l2经过点R(6,0),S(1,3).

(1) l1的斜率为4．已知A(1,1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D的坐标，使直线CDAB，且CB//AD

板书设计: 一.

两条直线平行判定.

知识运用

教学后记：

97 二.

两条直线垂直判定.

知识运用

三.课堂练习

四.小结

五.作业

3.2

直线的方程

§3.2.1

直线的点斜式方程

执笔人：黎咏梅

陈文波

审核人：程嘉川

王军

课程标准: 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程，体会斜截式与一次函数的关系. 教学目标:

知识与技能

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 过程与方法

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

情态与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

教学重点：

直线的点斜式方程和斜截式方程。

教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。直线与方程对应关系的说明.

教学过程: 教学教学内容

教师活动

学生活动

环节

使学生在已有

知识和经验的基

在直角坐标系内确定一条直线，应知础上，课

探索新知。学生回顾，并回答。

道哪些条件？

题

然后教师指出，引

直线的方程，就入

是直线上任意一点的坐标(x,y)

点

斜

式

方

程

满足的关系式。

学生根据斜率公式，可1.直线l经过点P，且斜率培养学生自主探0(x0,y0)索的能力，并体以得到，当xx时，0为k。设点P(x,y)是直线l上的任会直线的方程，意一点，请建立x,y与k,x0,y0之就是直线上任意kyy0

一点的坐标xx0间的关系。

(x,y)满足的关yy0k(xx0)

y系式，从而掌握（1）

P根据条件求直线

P0方程的方法。

（1）由直线上

一定点及其斜率

确定，所以叫做

直线的点斜式方Ox

程，简称点斜式

（point slope

form）.

98

2.（1）过点P，斜率是k0(x0,y0)

对基础薄弱的学生给予关注、的直线l上的点，其坐标都满足方程引导，使每个学yy0k(xx0)吗？

生都能推导出这（2）坐标满足方程（1）的点都在经个方程

过P，斜率为k的直线l0(x0,y0)

上吗？

3．直线的点斜式方程能否表示坐标教师引导，使学平面上的所有直线呢？

生了解方程为直

线方程必须满两个条件。然后教师指出方程

4．（1）x轴所在直线的方程是什使学生理解直么？y轴所在直线的方程是什么？

线的点斜式方程的适用范围。

（2）经过点P且平行于x0(x0,y0)

轴（即垂直于y轴）的直线方程是进一步使学生理什么？

解直线的点斜式

（3）经过点P且平行于方程的适用范0(x0,y0)y轴（即垂直于x轴）的直线方程围，掌握特殊直线方程的表示形是什么？

式。

学生分组组讨论，然后验证。

学生分组互相讨论，然后说明理由。

教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。

y

P0

O

x

yP0O直

接

应

用

（教材例1）直线l经过点P0(2,3),且倾斜角45,求直线l的点斜式方程,并画出图形l.

教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。

引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一x学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。

斜

截

式

1．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，求直线l的方程。

99 学生独立求出直线l的方程：

ykxb （2）

方

程

与

一

次

函

数

的

关

系

2．观察方程ykxb，它的形式具有什么特点？

3．你如何从直线方程的角度认识一种特殊情形。给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生

使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别

教师评价、归纳概括。

理解斜截式方程概念的内涵。

次函数ykxb？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数学生思考回答，教师评价。

y2x1,y3x,yx3图象的特点吗？

应

用

举

例

（教材例2）已知直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2，试讨论: （1）l1//l2的条件是什么？

（2）l1l2的条件是什么？

掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k,b的几（1）l1//l2时，

何意义。得出结论：

教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考k1,k2;b1,b2有何关系？（2）l1l2时，k1,k2;b1,b2有何关系？

l1//l2k1k2,且b1b2；

l1l2k1k21

小组相互检查

学

见学案第1，3，4，5，8，10，12案

题

落

实

课

1本节课我们学习了哪些知识点；

堂

．

2.直线方程的点斜式和斜截式的形小

式特点和适用范围是什么？

结

．

3.求一条直线的方程，要知道多少个条件？

作

附在表格后面

业

检查反馈

引导学生归纳

独立归纳

100

课后作业: 1.

写出满足下列条件的直线的方程: 3，经过点A(8,2)

(2) 经过点B(2,0),且与x轴垂直

3(3) 斜率是4，在y轴上的截距是7. (1) 斜率是

2.

判断A(1,3),B(5,7),C(10,12)三点是否共线,并说明理由. 3.

已知点A(7,4),B(5,6),求线段AB的垂直平分线的方程. 4.

一条直线经过点A(2,3),并且它的斜率等于直线y的方程.

板书设计: 一.

课题引入

二.点斜式方程

三直接应用

例1

教学后记：

1x的斜率的2倍,求这条直线3四.斜截式与一次函数的关系

五.运用举例

例2

六.学案落实

七.小结

八.作业

101

§3.2.2 直线的两点式方程

执笔人：黎咏梅

陈文波审核人：程嘉川

王军

课程标准: 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.

教学目标: 知识与能力:让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的教学打下良好的基础. 知识与技能

过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看问题。

教学重点:直线方程两点式和截距式. 教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形. 教学过程

教学

教学内容

教师活动

学生

环节

活动

利用点斜式解答如下问教师引导学生：根据已有的知识，要求直学生根

题：

线方程，应知道什么条件？能不能把问题据已知

转化为已经解决的问题呢？

两点的已知直线l经过两点课

坐标，先P1(1,2),P2(3,5),求直线l的题

判断是方程.

引

否存在

入

斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.

1.已知两点在学生求得点斜式方程学生求

得点斜y2y1

P1(x1,x2),P2(x2,y2)yy1(xx1)

式方程

其中xx21

，求(xx,yy)1212两

后教师指出：当y1y2时，方程可以写通过这两点的直线方程。

点

成

式

yy1xx1方

(x1x2,y1y2)y2y1x2x1程

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.

2.若点教师引导学生通过画图、观察和分析，发

学生现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以通过画P1(x1,x2),P2(x2,y2)图、观察中有x1x2，或直线方程为：xx1；当y1y2时，直和分析，y1y2，此时这两点的线与y轴垂直，直线方程为：yy1使学懂得两直线方程是什么？

生懂得两点式的适用范围和当已知的两点点式的适用范不满足两点式的条件时它的方程形式。

102

应

用

举

例

3．教材例3 教学

已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：

a0,b0，求直线l的方程。

xy1

ab

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念

教材例4 教学如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程.

让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。

学案落实

小

结

作

业

见学案第4，7，9题

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

附在表格后面

教师检查、反馈。

引导学生对进行总结：直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系。

围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

先做例题，然后小组内交流，定义截距后得到直线的截距式方程，理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

学生独立完成，

学生独立小结归纳。

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。

学生课后完成

103

课后作业: １．写出满足下列条件的直线的方程: （１）经过点A(1,8),B(4,2)；（２）在y轴上的截距是2，且x轴与平行；

（３）在x轴，y轴上的截距分别是4,3.

２．已知ABC的顶点A(8,5),B(4,2),C(6,3),求经过两边AB,AC中点的直线方程。

３．一根弹簧，挂4N的物体时，长20cm。在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm。试写出弹簧的长度lcm与所挂物体重量Ｇ（Ｎ）之间关系的方程。

４．求过点P(2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程。

板书设计: 一.

课题引入

三．运用举例

四.学案落实

教材例3、例4 五.小结

二.两点式方程

六.作业

教学后记：

104

§3.2.3 直线的一般式方程

执笔人：黎咏梅

陈文波审核人：程嘉川

王军

课程标准: 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程

教学目标:

知识与技能

（１）

明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题

情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）用联系的观点看问题。

教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:

对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学过程

教学

教学内容

教师活动

学生活动

环节

课

问题：1.至今已学过哪几种直引导学生思考并回顾小组相互检查学案第题

线方程形式? 直线方程式的形式,一题,回顾并回答问引

2.直线与二元一次方程有什思考问题,引入课题. 题. 入

么样的关系?

问题:（1）平面直角坐标系中引导学生用分类讨论然后由学生去变形判的每一条直线都可以用一个的方法思考探究问题断，得出结论：

关于x,y的二元一次方程表（1），即直线存在斜

关于x,y的二元率和直线不存在斜率一次方程，它都表示示吗？

（2）每一个关于x,y的二元时求出的直线方程是一条直线。

否都为二元一次方一次方程程。对于问题（2），AxByC0（A，B引导学生理解要判断不同时为0）都表示一条直线某一个方程是否表示吗？

一条直线，只需看这个方程是否可以转化直

为直线方程的某种形线

式。为此要对B分类的

一

讨论，即当B0时般

和当B=0时两种情形式

进行变形。

方

概括指出：由于任程

何一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于x,y的二元一次方程AxByC0

105

（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general

form）.

2.易混点辨析: 直线方程的一使学生理解直线方程学生通过对比、讨论，般式与其他几种形式的直线的一般式的与其他形发现直线方程的一般方程相比，它有什么优点？

式的不同点。

式与其他形式的直线

方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。

3.在方程AxByC0教师引导学生回顾前

学生自主探索得到中，A，B，C为何值时，方面所学过的与x轴平问题的答案。理解二程表示的直线

元一次方程的系数和行和重合、与y轴平（1）平行于x轴；（2）平行常数项对直线的位置于y轴；（3）与x轴重合；（4）行和重合的直线方程的影响。

与y重合。

的形式. 4.教材例5的教学

教师检查、评价、反

已知直线经过点A（6，-4），馈。指出：对于直线方程的一般式，一般4斜率为，求直线的点斜式作如下约定：一般按学生独立完成。体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点。

3和一般式方程。

含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y

应

用

举

例

的系数和常数项一般不出现分数；无特别要求时，求直线方程的结果写成一般式。

5.教材例6的教学. 把直线l的一般式方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。

让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在学生思考解答,体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。

y轴上的截距。求直线与x轴的截距，即求直线与x轴交点的横坐标，为此可在方程中

106

令y=0，解出x值，深

化

理

解

学案落实

6.二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？

学案第9,10,11题

1.请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。

2.比较各种直线方程的形式特点和适用范围。

3.求直线方程应具有多少个条件？

4.学习本节用到了哪些数学思想方法？

附在表格后面

即为与直线与x轴的截距。

在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。

引导学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。

检查,评价

引导学生对本节知识进行总结

学生阅读教材第99页，从中获得对问题的理解。

小组检查,反馈,落实. 学生通过总结,对直线方程的理解有一个整体的认识. 课

堂

小

结

作业

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。

学生课后完成

课后作业: 1.求满足下列条件的直线的方程: (1)经过点A(3,2)，且与直线4xy20平行；

(2)经过点C(2,3)，且平行于过点M(1,2)和N(1,5)直线；

（３）经过点B(3,0)，且与直线2xy50垂直. 2.一条光线从点P(6,4)射出,与x轴交于点Q(2,0),经x轴反射,求入射光线和反射光线所在直线的方程.

板书设计: 一.

课题引入

二直线的一般式方程

教学后记：

三．运用举例

教材例5、例6教学

四.学案落实

五.小结

六.作业

107

§3.3.1

两条直线的交点坐标

执笔人：黎咏梅

陈文波审核人：程嘉川

王军

课程标准:

能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

教学目标: 知识与技能：1.直线和直线的交点的求法.

2．二元一次方程组的解与两直线的位置关系. 过程和方法：1.学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

2．掌握数形结合的学习法。

3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的

直线系方程。

情态和价值：1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内

的联系。

2．能够用辩证的观点看问题。

教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学过程：

教学

教学内容

教师活动

学生活动

环节

1.如何求?此交作图尝试解1.

1.求直线x20与直线3y0的交点坐标. 点坐标与联立方决. 问

2.已知两直线程x20与题

l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,,3y0的方引

入

如何判断这两条直线的关系? 程组解的关系. 2.

2.又如何求?

1.填表:见学案3(即教材料102的图表) 引导学生解答.总结用代数方法求两条直线的交点坐标. 指导学生分析,找到方程组的解的情况与两条直线的位置关系之间的对应关系. 引导学生独立作答,评议. 引导学生观察,与学生共同探究求直线系过定点的方法. 回答几何元素及关系的代数表示. 小组讨论,总结. 两条直线交点坐标的探究

2.设疑:利用求交点坐标的方法,能否判断两直线的位置关系呢? 3.应用:教材例1: 求下列两直线交点坐标: 独立作答

l1:3x4y20,l2:2xy20

共点直线系探究

当变化时，方程

3x4y2(2xy2)0表示什么图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。

探索,观察,发现.归纳.

108

教材例2 应

用

举

例

学案见学案第6,9,10题. 落实

归纳直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将小结

几何问题转化为代数问题来解决,并能进行应用. 附在表格后面

作业

引导学生独立作题.总结:通过解方程组确定交点坐标,来判断两直线的位置关系的方法. 明确问题,让学生解决. 引导学生归纳. 巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。

练习

独立解决

学生总结归纳. 学生课后完成

课后作业: 1. 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

(1)l1:2xy70，l2:xy1

；

(2)l1:x3y100，l2:yx5；

3(3)l1:3x5y100，l2:9x15y300.

2.A和C取什么值时,直线Ax2y10与直线6x4yC0

(1)平行

(2)相交

(3)垂直

3. 已知两条直线l1:(3m)x4y53m，l2:2x(5m)y8m为何值时，l1与l2

(1) 相交

(2) 平行

(3)垂直

4.已知两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20相交，证明方程

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0,(R)表示过l1与l2交点的直线.

板书设计: 一.

问题引入课题

二两条直线的交点坐标探究

例1

教学后记：

三．共点直线系探究

四.应用举例

教材例2

五.学案落实

六.归纳小结

七.作业

109

§3.3.2

两点间的距离

执笔人：黎咏梅

陈文波审核人：程嘉川

王军

课程标准: 探索并掌握两点间的距离公式. 教学目标:

知识与技能：使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性. 能灵活运用此公式解决一些简单问题

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题

教学重点：两点间距离公式的推导及用。

教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决实际问题. 教学过程：

教学

教学内容

教师活动

学生活动

环节

1．如果A、B是x轴上两点，C、D1．引导学生回忆数1．回忆数轴上两点问

是y轴上两点，它们坐标分别是xA、轴上两点间的距离间的距离公式，解决题

xB、yC、yD，那么|AB|=？.|CD|=？

公式，解决问题。

问题。

引

2．点B(3，4)到原点的距离=？

2．画出几何图形，2．画出几何图形，入

解决问题。

解决问题。

已知平面上的两P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?

推导过程见教材

两点间的距离公式

点求进一步启发，出示教材图形3.3-2.说明点探

究

两

点

间

的

距

离

公

式

P1与P2的距离用符号|P求1P2|来表示，两点间的距离就是用x1,x2,y1,y2来表分析特点，理

解记忆公式。

|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2

特别地，原点O(0,0)与任一点示线段的长，引导学生观察公式特点，记忆公式。

P(x,y)|OP|的距离为x2y2

分析题意，找出解题方法。在练习本上完成。

应

用

举

例

1．教材例3：已知点A(-1，2)，B(2，引导学生分析，总结、内化本题应用距在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,7)，离公式的心得。

并求|PA|的值. 分析：求线段PA的长，还需什么条件？如果PA与PB长相等，那么对点P的位置有什么影响？

2．教材例4：证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方分析本题的任务，引导学生用坐标法证讨论解决问题的方法，体会用代数的方

110

和。

明平面几何问题。首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。让学生讨论解决，深刻体会数形之间的转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

引导学生归纳. 法来解决几何问题。建立坐标系的作用。

深刻体会数形之间的关系和转化

应用代数问题解决几何问题的基本步骤。第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。并记忆.

思考：教材例4同学们是否还有其它

的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题。

学案落实

课堂小结

见学案第4,5,6,7,10,11题.

1.两点间距离公式的推导，以及应用,2.懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。

附在表格后面

让学生总结

总结

作业

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。

学生课后完成

课后作业: 1.已知点A(1,2),B(2,0),P(0,3),Q(1,1),M(1,0),N(4,0)六点,线段AB,PQ,MN能围成一个三角形吗?为什么?

2. 已知点P(a,2),Q(2,3),M(1,1),且|PQ||PM|,求a的值.

111

3.(1)求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的点的坐标.

(2) 已知点P横坐标是7,点P与点N(1,5)间的距离等于10,求点P的纵坐标.

4.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

板书设计: 一.

问题引入

三．应用举例

教材例3例4 二探究两点间的距离公式

教学后记：

四.学案落实

五..归纳小结

六作业

112

§3.3.3

点到直线的距离§3.3.4两条平行直线间的距离

执笔人：黎咏梅

陈文波审核人：程嘉川

王军

课程标准:

探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

教学目标: 知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；并会求两条平行线间的距离. 过程与方法：

通过点到直线距离公式的推导,会用点到直线距离公式求解两平行线距离使学生再次体会坐标法的思想及数学化归思想. 情感与价值：

认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题

教学重点：点到直线距离公式的推导和应用.

教学难点：:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 教学过程：教学过程：

教学

教学内容

教师活动

学生活动

环节

1．.求下列点到直线的距离: 1．引导学生完成,并尝试求解,猜想一般出示问题: 已知点性结论.

(1)点P(2,4)到直线l:x0的距P(x0,y0),直线离. 王新敞王新敞

(2) 点P(2,4)到直线l:y3的距离.

(3) 点l:AxByC0,如何求点P到直线l的距离?

特

例

引

入

P(2,4)到直线l:BxC0(B0)的距离.

(4) 点P(2,4)到直线l:AyC0(A0)的距离.

探

究

点

到

直

线

的

已知点P(x0,y0),直线l:AxByC0,如何求点P到直线l的距离? 方法1:用两点间的距离公式推导(较繁) 方法2:等面积法推导.(可行)

113 1.引导学生分析任务,画出图形. 2.布置任务,要求学生实施解决此种问题的方案. 3.特别地:当A0或B0时公式仍适用. 1.小组内先讨论, 分析任务,画出图形.找出解决此种问题的方案. 2. 实施解决此种问题的方案. 3.记忆公式

距

离

公

式

推导过程见教材

点到直线的距离公式:

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d

Ax0By0CAB22

1．教材例5：求点P(1,2)到直线l:3x2的距离. 应

用

举

例

2.教材例6：已知点引导学生分析，总结、分析题意，找出解内化本题应用距离公题方法。在练习本式的心得。独立完成

上独立完成。

提问学生拟定的解题方案,板书解题过程,进一步强调使用公式的前提条件. 讨论解决问题的方法，体会如何求三角形的面积? 如何求三角形的边长及相应边上的高?

讨论:把平行线间的距离转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离,取特殊点,把问题转化为求点到直线的距离.

A(1,3),B(3,1),C(1,0)，求ABC的面积.

两条平行线间的距离

1.

已知直线l1//l2,如何求l1与l2间的距离?

2. 教材例7 已知直线提出问题:引导学生分析:如何取点,使计算简便,与学生共同总结方法, l1:2x7y80，l2:6x21y10

, l1与l2是否平行?若平行, 求l1与l2间的距离.

学案落实

课堂小结

作业

见学案第5,6,7,10,11题.

1.

点到直线的距离公式的推导，以及应用,2.

把平行线间的距离转化为求点到直线的距离.

附在表格后面

让学生总结

总结

巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。

学生课后完成

114

课后作业: 1. 求点P(5,7)到直线l:12x5y30的距离. 2.求两平行直线3x2y10,与3x2y10间的距离.

3.已知点A(a,6)到直线3x－4y=2的距离d为下列各值，求a的值: (1)d4

(2) d4.

4. 已知点A(3,4),B(6,3)到直线l:axy10的距离相等, 求a的值.

5.求证:已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为

l1：AxByC10，l2：AxByC20，

则l1和l2的距离为dC1C2王新敞AB22

板书设计: 一.

特例引入

二探究点到直线的距离公式

教学后记：

三．应用举例

教材例5例6

四.两条平行线间的距离

五学案落实

六..归纳小结

七作业

115