2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学实录及点评

直线与平面平行的判定

偃师一高 梁小昌

一。背景分析：

本节教材在高中立体几何中占有很重要的地位，因为它与前面所学***面几何中的两条直线的位置关系以及立体几何中的线线关系等知识都有密切的联系，而且其本身就是判定直线与平面平行的一个重要的方法；同时又是后面将要学***面的位置关系的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且也为判断直线与平面平行增添了一种新的方法，同时又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。

二.教学目标分析：

根据本节教材在中学几何中的特殊地位和大纲要求以及学生实际，本节课的教学目的制定如下：

1．掌握直线与平面平行的判定定理其及应用；

2．通过探究线面平行的判定定理其及应用，进一步培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力；

3．使学生掌握“观察---猜想---证明”的数学思想方法和逐步培养学生的辨证唯物主义的思想观点。

三.教学的重点与难点及解决办法：

教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。

突出重点的方法：动手操作，练习巩固。

教学难点是：直线和平面平行的判定及其应用。

突破难点的关键是：弄清原理、分清步骤，证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行。 四：教学过程设计：

教学环节

教学程序(师生双边活动) 设计意图

一．

创

设

情

【提出问题】

①直线和平面有哪几种位置关系？

【设计意图】之所以这样引入是因为：

②在这幅图中，你能出这三种位置关系吗？(多媒体演示) （1）中学生好奇心③在这间教室中，你能找出这三种位置关系吗？

重，利用教室现有实境，④观察：将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所物做教具，比较容易直

观

感

知

在直线a与桌面所在平面a具有什么样的位置关系？（多吸引学生的注意力，媒体演示）

唤起学生对旧知识的回忆，为新课做铺垫。

（2）通过思考，激发他们的求知欲。让每个学生都进行积极的思维参与。

(3)从实际背景出发，直观感知直线与平面平行的位置关系。

（学生很容易回答：平行）老师再问：你得平行的依据是什么？（学生易答：直线与平面没有公共点）老师追问：你怎样知道？这里学生被问住了，因为直线与平面的无限延伸性，要找它们是否有交点是不可能的。所以很自然引 通过引导学生观察书的边缘所在的直线互相平行，进一步得出书不论怎样转动到什么位置，封面边缘所在直线与桌面所在平面都平行。

出，我们需要找一条比较实用的直线与平面平行的判定方法。

在此基础上提出两个探究性的问题。

二

探

索

研究，操

作

确

认

【探索研究，操作确认】

1．探索探究：（探究1）：如图（1）所示直线a与平面平行吗？

【设计意图】由探究引起学生思考，吸引学生的注意力，调动 如图（2）所示，如果平面内有直线与直线平行，

那么直线与平面的位置关系如何？是否可以保证直线与平学生的学习积极性。面平行？

第二，在教学中培养学生自己获取知识的能力和逻辑思维能力及空间想象能力，不断提高学生的几何语言表达能力。

教学程序(师生双边活动) 【设计意图】

探究2）：如图（3）平面外的直线平行于平面内的直线。

（1）

这两条直线平行共面吗？

（2）

直线与平面相交吗？

(3) 直线与平面平行吗？

【设计意图】教育过程的规律表明：教师对学生的教育不是简单的给予，不是移植。知识的传授、智力的发展、能力的培养、思想品德的形成，都必须通过学生 2．操作确认：

①练习：判断下列命题是否正确。

的积极思维运动才能实现。

（1）若平面外一条直线a与直线b平行，则直线a//【设计意图】引导学平面；

生根据直观感知以（2）若直线a与平面内一条直线b平行，则直线a//及已有经验，进行合平面；

（3）直线a在平面外，直线b在平面内，则直线a//平面

。

②

直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和理推理，获得正确的结论。

定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，这是处理空间位行。

置关系一种常用方

符号语言：aα,bα，且a∥bÞ a∥α

法，即将直线与平面平行关系转化为直线间平行关系。为了便于记忆，我们通常把这个判定定理简单说成“线线平行，则线面平行”。）

由此判定可知：在证明一条直线与平面平行时往往把它转换成直线与直线平行. （三）练习1：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，

思

辨

论

①与AB平行的平面是_______________

②与AA1平行的平面是________________

③与AD平行的平面是__________________

【设计意图】为了突破“应用”这一难点，我在学生学完定理后安排了一个应用定理的例题。这样安排可使学生有一个从具体到抽象，由感性到理性的认识过程。

证，

解

释

应

用。

【例1】

求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面。

（注意写出已知、求证，作出图形，书写格式）

【设计意图】

在例题的讲解中，主要给学生对题目的题设和结论进行分析，引导学生找出符合判定定理的三个条件，从而得出要证结论。

其理论依据是：定理 【练习1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F 分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：3，则对角线AC和平面DEF的位置关系如何？ 的证明和应用对发展学生的逻辑思维有特殊的作用，但其间起决定作用的却不是证明本身，而是证题思路的探索。而且通过对例题的分析，教给学生运用定理的方法。不断提高学生运用知识的能 【练习2】正方体ABCD—A1B1C1D1中，有为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说力。

明理由。

根据教育心理学中 【练习3】已知，如图P是平行四边形ABCD外一的遗忘规律，遗忘有点同M，N分别是PC，AB的中点。

求证：MN//平面PAD 先快后慢的特点，因此及时安排学生练习是巩固新知识的有效方法，后面安排的课后作业也是这个道理。为此我按梯 【思考题】如图，正方体木块ABCD—A1B1C1D1中，P是平面ABCD上的一点，现需过点P画一条与平面ADC1B1平行的直线应该怎样去完成？ 度安排了3个练习，前2个练习要求全班同学做，第3题难度稍大，只要求有能力的同学做。这样安排既照顾全体同学，又兼顾优生。

在解决思考题时，有 （四）归纳小结

（1）小结判定定理的内容；

（2）说明判定定理的思维过程是把直线与平面平行的学生可能会想，为什么不可以直接过点P作BC的平行线呢？为了解决这个疑问，可以让学生动手在一个实物模型的问题转化为判定直线与直线的平行问题，简述为上画一画，看看能否保证画出的直线一“若线线平行，则线面平行”。这样叙述的目的是方定与已知直线平行。另外，还可以引导学便学生记忆；

生思考“若a//a，怎样在平面a内找到一（3）再次强调，在运用定理时一定要注意三个条件条直线b，使b经过平面内的一个点A，要同时具备，缺一不可。

并且b//a？并把学生思维引导到用性质（五）知识运用

定理解决问题上来，即过已知直线和点A给学生布置课本68页习题2.2的第3,4题作为课后作一个平面和已知平面相交，交线和已作业。

知直线平行，此交线就是要找的直 线

b。

(六).板书设计：

设计的优点是：从定理内容——定理证明——定理 应用。条理清楚，思路清晰。主要是使学生对整节课至此，学生已基本能

的学习内容有一个比较系统的认识，从而达到培养学掌握本节知识，达到生的逻辑思维能力的目的。

预定目标。这时给本节课作一个小结：

目的是使学生通过一定量的练习巩固所学的知识，形成技能，从而发展为技巧。

五.教学评价设计：

本节课内容处理上，按照“直观感知—操作确认---思辨论证---度量计算”的认识过程展开的。通过直观感知和操作确认的方法，概括出直线与平面平行的判定定理。

高中立体几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标。根据“

认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要求在内容安排和处理方式上，加强了引导学生通过自己的

观察、操作等活动获得数学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。在空间直线与平面的判定定理的得出过程中，注重典型

实例的观察、分析、给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验、猜想等合情推理后，再进行演绎推理，逻辑论证。加外，本节课通过“观察”“思考”“探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象了数学模型，从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题过程，注重探索空间图形性质的过程。