1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计案例

第一章常用逻辑用语

1.1 命题及其关系

1.1.3四种命题间的相互关系

教学设计: 1.前面我们学习了四种命题形式,它们之间有什么关系呢? 2.形式上的相互关系: (1)教科书6页思考? 原命题与其逆否命题,否命题与逆命题均互为逆否命题

(2)四种命题的相互关系图:教科书7页图:1.1-1 3.真假上的相互关系: (1)判断下列命题及其逆命题,否命题,逆否命题的真假.

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

②菱形的对角线互相垂直;

③若xy0则x0且y0; ④若xy0,则xy0

⑤教科书7页探究

(2)从上面的练习中,你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗? ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. (3)写出下列命题的逆命题,否命题及逆否命题,并判断这三个命题的真假.

①a,b,cR,若ac0,则ax2bxc0有两个不等实数根; ②若x2y20,则x0且y0; ③若ab,则acbc;

④当c0时,若ab,则acbc; ⑤四边相等的四边形是菱形;

⑥若直线l1,l2平行,则它们的斜率相等.

4.命题间相关关系的应用

(1)教科书7页例4

若条件成立,则结论成立若结论不成立,必有条件也不成立

(即逆否为真,原命题为真) (2)设a,b,c是互不相等的实数. 求证:yax22bxc,ybx22cxa,ycx22axb三条抛物线至少有一条与x轴的交点多于1个. 证明:假设三条抛物线中没有一条与x轴的交点多于1个

即:三条抛物线中没有一条与x轴的交点为2个

4b24ac0b2ac0则有:4c24ab0c2ab0a2b2c2acabbc0

4a24bc0a2bc0 (ab)2(bc)2(ca)20且a,b,c互不相等

上式不可能成立,故假设不成立,原命题成立. (3)教科书8页练习;习题1.1A组4;B组. (4)(理科)已知a3b32,求证:ab2;

证明:假设:ab2 则有:a3b3a3(2a)3a3(812a6a2a3)6a212a86(a1)222

与已知条件:a3b32矛盾.故假设不成立,原命题成立. 1(5)(理科)已知x为实数,ax2,b2x,cx2x1.求证:a,b,c,中至少有一个不小于1; 2证明:假设a,b,c都小于1则有abc3. 71abc2x22x2(x2x)324又因:

122(x)332

与abc3.故假设不成立,原命题成立. (6)(理科)若非零实数a,b,c两两不相等,且2bac.证明:211成立

bac则有:2acbcacb(ac),有因2bac

211不成立; bac证明:假设1故:2ac(ac)2,即:(ac)24ac,即:(ac)20

2则,ac与a,b,c两两不相等矛盾.故假设不成立,原命题成立. (7)(理科)已知abc0,abbcca0,abc0,求证:a,b,c0

证明:假设a0

则有:bc0,bc0,那么abbccaa(bc)bc0

与已知矛盾.故假设不成立,原命题成立. (8)反证法

①证明步骤:假设原命题的结论不成立;推出矛盾(与已知,公理,定理不符);下结论.

②常用于以下的情形: (a)否定性结论的命题:常出现“不存在”,“不大(小)于”,“不都是”等; (b)唯一性命题或有“至多”,“至少”等词语出现的命题; (c)题设的信息量很少的命题. 5.小结: (1)仅互为逆否命题的真假性一致; (2)反证法的原理:证明原命题的逆否命题成立.