习题3.2教学设计第一课时

向量法

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一、教学背景————————————————————————————————

1.1教学内容解析

通过具体实例的分析，帮助学生掌握向量法解几何问题的一般方法,在过程中体会向量法的应用价值。本节课的教学重点是运用基向量法解决几何问题，而难点在于如何将几何问题转化为向量问题。因此从认知心理学的角度看，所教授的知识主要是程序性知识，当然这些知识需要与向量有关的陈述性知识为依托。本节课的上位知识是向量，特别是向量的线性运算，基本定理，数量积等相关内容。在本节课的教学过程中会涉及从一般到特殊的思想、数形结合思想、转化与化归思想以及类比推理等思维形式。

1.2教学目标设置

引导学生经历从具体的几何问题（如长度，角度，位置关系等）出发、不断分析，将条件与结论逐步用向量表示，并利用向量运算得到向量结论，进而解决几何问题的全过程，重构向量的知识体系，体验其中蕴涵的丰富的数学思想。

1.3学情分析

第一个维度：学生的知识储备和方法储备：学生必修四学***面向量，选修2-1学习了空间向量，经过第一轮复习，学生熟悉向量的基本知识，对向量法在平面几何和空间几何中的应用有一定的了解。但对向量的工具性认识较浅，面对几何问题，基本都选择建立坐标系，用向量坐标法解决。不明白向量法的理论基础及背后所蕴含的数学思想，无法变被动应用为主动运用。

第二个维度：教师优势在于态度友善，尊重和宽容课堂上的每一个人，有耐性，注重问题引导、思路分析，善于变式教学，精于将学科课程与信息技术的整合。而不足在于课堂教学语言相对不够准确简练，板书不够清晰美观。

1.4教学策略分析：

由于教学目标重点在于数学思想方法的体会，因此在教学素材的选择上，第一，例题的来源尽量选择课本例题，习题改编，例如问题1和问题2均来源于课本，不仅突出思想，简化运算，也提醒学生高三复习要回归课本。第二，例题选择注意丰富性。向量法解决的几类几何问题，例如长度，角度和位置关系问题都有涉及，帮助学生有全面的认识。第三，例题安排的层次性，根据教材的安排，本堂课选择从一般到特殊的思路安排，而且注意到从平面到空间的类比推理等，力求处处渗透数学思想方法。第四，注重变式训练，从题目条件的增减，结论的改变等多方面多角度变式，力求帮助学生掌握基本方法，领会数学思想，培养理

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性思维。

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二、设计思想————————————————————————————————

波利亚强调，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”、思维的方式、有条不紊的工作习惯。而现代建构主义关于学习的理论中，不断强调教师在讨论中要设法把问题一步步引向深入以加深学生对所学内容的理解；要启发诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的或片面的认识。而教师应该在这一过程当中提供一些学习的“支架”：教师演示，并且说出其思想；提示或给予线索：帮助学生在停滞时找到出路；提问：帮助学生诊断错误的原因，并且修正完善。帮助学生从现有能力提高一步。

具体到本节课当中，学生已经复习了向量的基本知识，但还未能深刻体会向量法的本质，无法主动运用向量法解决几何问题。对于向量法所蕴涵的数学思想体会不深，无法应用来指导解题实践。

向量兼具几何与代数的双重特点，向量法解题往往蕴含丰富的数学思想方法。通过向量法的教学，有利于学生重建向量的知识体系，深刻理解向量的核心知识点，有利于理解向量本质，并运用向量法解决几何问题，在解题中体会数学思想，提升数学能力。

因此本节课的设计中大胆突破平面和空间的界限，精选例题，强化类型，让不同层次的学生都能充分体会到向量法的基本思路。重在分析，重在引导，讲练结合，讲在关键处，让学生经历挫折，调整，成功的过程。

在课堂上，学生可亲身体验到向量在沟通几何与代数方面的作用，体会向量基本定理的重要作用，深挖向量坐标法的理论基础，体会基向量法与向量坐标法的区别与联系。在整节课当中，不断渗透各种数学思想，帮助学生从宏观上重视蕴涵其中的关系映射反演，数形结合，基底转化，函数方程等思想，确立向量法解题的策略，能自觉运用数学思想方法来指导解题实践，摆脱题海的羁绊。

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三、教学目标————————————————————————————————

（一）知识与技能

1. 掌握向量坐标法和基向量法；

2. 能合理的选用向量法求解几何问题。

（二）过程与方法

1.经历几何问题转化为向量问题，再从向量结论回归几何解释的过程，体会向量在代数和几何的问题解决中的桥梁作用。

2.在从平面到平面，从平行四边形到矩形，从空间到空间，从平行六面体到长方体，从平面到空间不断运用向量工具解决几何问题的过程中，学习从具体实例中提炼数学方法，体会不同方法间的区别与联系。

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（三）情感、态度与价值观

1.在课堂教学过程当中，学生能从具体到抽象，从一般到特殊，能充分发挥在学习中的主体地位，主动观察、思考、模仿、互动、探究、归纳、反思，形成研究氛围。

2.在方法的归纳与应用过程中，养成扎实严谨的科学作风。

3.在向量法解题过程中体会向量法的简洁美、和谐美。

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四、教学重点与难点——————————————————————————————

1.重点：基向量法解几何问题

2.难点：几何问题的向量表示

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五、教学方式—————————————————————————————————

以问题为主线的启发式教学

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六、教学媒体—————————————————————————————————

多媒体课件

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七、教学过程设计——————————————————————————————

教学

环节

问

题

引

入

开

场

白

教学过程

数学是从认识和研究图形和数开始的，而向量既有图形形象直观的特点，又便于运算，是我们解决几何问题的好帮手，我们共同来回顾向量法在几何中的应用。

问题驱动与互动

设问1：请问，什么叫向量？

学情

预设

大部分学生经过高三复习对向量的定义比较熟悉。但个别同学可能会忽视向量定义。

①学生对文字型的证明问题有畏难情绪。所以首先要引导学生将文字转化为符号语言。

②要帮助学生将几何问题转化为向设计意图

开宗明义，指出本堂课教学目标和学习目标，帮助学生做好心理准备。

①从课本例题出发，引导学生复习回归课本；

②引导学生将几何对象用向量表示，体会向量法解几何问题的一般方法。

③体现向量问题1:

证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

已知：平行四边形ABCD

求证：AC2DB22AB2AD2

证明：不妨设ABa，ADb，则设问2：请大家观察，这个问题陌生吗？能否用向量法解决这个问题？

设问3：已知条件是什么？目标是什么？如何用向量来表示条件与结论？

（分析与引导细节）

问题的目标是求什

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教学

环节

一、

向

量

法

在

平

面

几

何

中

的

应

用

教学过程

ACab，DBab

问题驱动与互动

学情

预设

量问题。

③部分学生对向量的加减法，数乘运算还不够熟悉。

④引导学生认识平面向量基本定理与加减法法则之间的关系。

⑤部分基础不扎实的学生对向量数量积运算有所遗忘，尤其是借助其来求模。

设计意图

法求解距离问题的优势。

么？

长度如何用向量来表2222示？

ACaba2abb

如何将对角线相应的向量向边相应的向量2222DBaba2abb

转化？运用了向量的哪些知识点？

222222ACDB2ab2ABAD

总结：

所以平行四边形四条边的平方和等于两在问题1的解决过程当中，我们通过选取条对角线的平方。

一组基底，运用向量加法和减法的法则，

完成了向量的表示过知识链接（课件展示）：

程，由形到数，其次向量的加法的平行四边形法则，

通过向量数量积运三角形法则，

算，由数到形，得到减法的三角形法则，

向量结论，第三步将平面向量基本定理。

向量结论回归几何转化为几何结论。这一

过程体现了向量法解

几何问题的基本步

骤：①向量表示；②

向量运算③回归几

何，其中蕴涵了数形

结合以及转化与化归的数学思想。

设问4：如果增加题变式：在平行四边形目条件，请尝试用向ABCD中,E是AB的中量法解决这个问题？

点,BD⊥CE,

2（分析与引导细节）

ADAB,试求∠A . 2问题的目标是求什解：不妨设ABa，ADb，

么？

角度如何用向量来表1CECBBEab示？需要运用向量的2何种运算？

BDADABba∠A是哪两个向量的1CEBDabba夹角？

2选择哪两个向量作为2211基底？

aabb

22已知条件如何用向量转化？

设AD1，则AB2，即有，a2，与问题1有何区别？

2cosA0，b1易得CEBD2cosA0，所以∠A=90°

①经过复习，学生已熟悉向量的数量积运算，容易得出解决问题方向。

②题目难点在垂直条件的应用和基向量的选择。

①复习向量的数量积；

②体会向量法求解角度问题的一般方法；

③体会基底的转化思想，体会从一般到特殊的思想方法

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教学

环节

二、

知

识

重

构

三、

向

量

在

立

体

几

何

中

的

应

用

教学过程

从以上两个问题当中，我们可以发现向量------有3大法宝，1.向量的线性运算；2.向量的数量积；3向量的基本定理。

在平面几何中，向量在距离，角度和位置关系问题中大显身手，我们进一步来研究向量法在立体几何中是如何发挥作用的。

猜一猜：平行六面体的的对角线的平方和和各棱平方和有何关系？

问题驱动与互动

设问5：以上的两个问题的解决过程当中，向量的哪些知识点起了关键作用？

设问6：运用这些法宝可以解决哪些问题呢？

设问7：类比问题1，猜猜看，平行六面体的的对角线的平方和与各棱平方和之间有何关系？

学情

预设

学生经过两个问题的复习，对向量法解题的基本工具有了一定了解。

设计意图

已知：平行六面体ABCDA1B1C1D1

2求证：AC12B1D2BD12AC

14AB2AD2AA12

证明：不妨设ABa，ADb，AA1c

AC1ABAA1AD2abc22

BD12BABB1BC2BAAA1AD2abc

DB1DADCDD1abc

CA1CDCBCC1abc

222通过具体问题的解答过程，激活学生头脑中先前掌握的知识，构建完整的知识体系。

①根据问题通过这个问1，学生易于题从平面类猜想得出结比到空间，论。但是，由帮助学生体于对平行六会平面向量面体并不熟和空间向量（分析与引导细节）

悉，尤其是对的共同的本角线，因此，质。注意到问题的条件是什么？在此注意引平面向量基有几条对角线？结论导，找到对角本定理和空分别是什么？如何转线。

间向量基本化为向量结论？

②对于空间定理的不向量法解题三部曲第向量的表示同，在这一一步是什么？关键是问题中，由于过程当中体什么？我们如何选择基向量的增会基底化繁加，图形复杂为简、化无基底？

程度增加，部限为有限的以对角线BD1相应的分同学在向转化思想。

向量为例，如何用基量表示上存在困难，要考底表示？

虑提示回路设问8：问题1到问法。

题2的过程当中，哪个知识点起了关键作用？突出了哪种数学思想？

总结：空间向量基本定理与平面向量基本定理的最大不同在于平面中需要两个不共线的基向量，而空间中需要三个不共面的基向量。数学中定理虽多，但每一个基本定理并不是随意命名的，向量基本定理将无穷的向量转化为了2个或3个基向量，充DAABAA21222BADAAA122AC1BD1DB1CA14ABADAA122224abc222222

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教学

环节

教学过程

所以平行六面体的的对角线的平方和等于各棱平方和

知识链接：空间向量基本定理

问题驱动与互动

分体现了无限到有限，化繁为简化归思想。

学情

预设

设计意图

变式：如果ABADAA11，且A1ABA1ADBAD60，

（1）求BD1

（2）求直线BD1和AC所成①学生基本能用合理的基向量（分析与引导细节）

将BD表示1角的余弦值。

直线用向量如何用表出来。

②三个示？模如何求？夹角数的和的平如何求？

方公式有部总结：在以上问题的分学生会有解答当中，基底思想问题，需及时显得如此重要，既然提醒。

基底如此重要，那么，③对异

基向量应该如何选面直线成角择？

与向量成角解：设ABa，ADb，AA1c

之间的关系

还有部分同则BD1BAAA

ADabc111其实，平面向量只需2学有所遗忘，222个不共线即可，空间需适时引导。

BD1BD1abc

④部分向量只需3个不共面即可，但是在具体解学生提到向222abc2ab2ac2bc

题过程当中，为了解量法解立体决问题的方便，我们几何就认为11112112

常选择模长已知，夹是坐标法，不2角已知，且共起点的考虑具体情况建立坐标向量作为基底。

BD12

系解决。

请同学们将变式完成在学案上。

让学生全程动手，在操作的过程当中，体会空间向量基本定理和数量积的作用，体会基向量的选取方法。

ACACab2223

AC3

BD1ACabcab

abacbc1

cosBD1,ACBD1ACBD1AC6

622

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教学

环节

教学过程

问题驱动与互动

学情

预设

设计意图

设所求角为，则其余弦值为abab6

6知识链接：cos

异面直线成交与相应向量夹角相等或互补

问题3：（2012 福建理改编）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，E为CD中点

在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平设问8：阅读问题3，考虑如何运用向量方法解决这个问题？还采用基向量方法吗？

面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，设问9：请进一步思考基向量方法与向量说明理由；

坐标法之间什么关系？

总结：向量坐标法与基向量法思路是一致的，坐标法强调由形到数，再由数到形，强化了数的运算，显示了向量运算简洁明快的特点。而基向量法是由形到向量，由向量到形，在运算部分还需要运用线性运算法则，对几何的还有一定的依赖性。向量坐标法关键在于选取了3个两两垂直的单位向量作为基底，进而得到其坐标表示。二者其实统一于基本定理。

知识链接：空间向量的正交分解

①面对正方体长方体模型，学生首先想到的应该是坐标法，但由于本节课之前所有问题均强化基向量法，因此，学生在此会犹豫。

②学生对向量坐标法较为熟悉，但是并未能从学科方法的角度来理解，尤其与基向量方法的关系，学生理解有困难。

①从方法上进行比较，进一步渗透数学思想方法。

②在比较的过程中，总结归纳，深化学生对基本定理尤其是正交分解的认识。

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教学

环节

四、

归

纳

总

结

教学过程

本节课我们复习了运用向量法解决角度长度位置关系等几何问题的基本步骤。

首先通过向量的线性运算，基本定理完成了几何问题的向量表示，可以通过代数的角度用坐标表示，也可以通过几何的角度用基底来表示。

其次，经过简单的向量运算得到向量结论。

最后，将向量结论回归几何。

这一过程当中，蕴涵有丰富的数学思想，有数形结合，基底转化，类比等等。

最后我们用李尚志老师的一首诗来结束本堂课：

平面空间向量同，不须插翅便腾空，

登天入地凭加减，角度棱长一点通。

希望同学们课后仔细体会其内涵。

问题驱动与互动

学情

预设

设计意图

①帮助学生养成及时总结归纳的习惯，

②帮助学生从学科方法的角度理解向量法，理解其中蕴涵的数学思想。

设问10：我们本节课通过本堂课主要学习了向量法，的教学，学生其基本步骤是什么？

对向量法应该有了一定设问11：解决的基本的认识。

问题是什么？

需要进一步归纳其中蕴设问12：蕴涵的常见涵的数学思数学思想有哪些？

想，增进认识（分析与引导细节）

的深度。

在向量表示的过程当中我们一般有几种方法？分别是？其中向量坐标法突出了向量的代数运算简洁明快的特点，而基向量方法则突出几何图形形象直观的特点。

五、

课

后

巩

固

必做作业：

点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在PA，BD上，且PM:MABN:ND2:1，

1.若PD平面ABCD，且DPDA，

（1）求异面直线MN与PC成角的余弦值；

（2）求平面AMN与平面PBC所成锐二面角。

请同学们课后完成以下作业，仔细比较1,2两题和3,4两题的解题方法，完成在学案上。

2.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M在PA上，且PM:MA2:1，N为BD上的动点，若PD平面ABCD，且DPDA3，

求MN的最小值，并求当MN最小时，MN与平面ABCD所成角的正弦值。

①学生对1,2两题比较熟悉，能熟练运用向量坐标法来解决，问题主要集中在向量夹角与异面直线成角，线面成角和二面角的关系。

②学生的主要问题在于第3,4题上，不注意审题，想当然有垂直条件，建系用坐标法解决。

③另外，在运用基本定理来解决线面平行关系证明上稍显薄弱。

④第5题，在必修2课本用①进一步巩固基本定理，熟悉回路法。

②复习向量基本知识点，制作向量知识框图，头脑风暴，构建完整知识体系。

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教学

环节

教学过程

3.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在PA，BD上，且PM:MABN:ND2:1，求证：MN∥平面PBC

4.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在PA，BD上，且PM:MABN:ND2:1，若PAB

PAD60，PAAD3，试求MN。

5.如图，等边三角形ABC中，D，E分别是AB,BC上的一个三等分点，且AE和CD交于点P，求证：BP⊥DC 选做：

1.请同学们根据学案上向量的知识结构框图，整理相关知识点；

2.有兴趣的同学请参阅《绕来绕去的向量法》 张景中 彭翕成/著. 问题驱动与互动

学情

预设

直线方程来解决较麻烦。

但合理选择基底，用基本定理来解决就简洁许多。

设计意图

板书设计：

向量法

问题1分析：

aa

ABa，ADb，

ACab，DBab

22一．

基本步骤：

1.向量表示

2.向量运算

3.回归几何

变式分析：cosa,babab

二．

核心知识：

1.线性运算

2.基本定理

3.数量积

cosAABADABAD

三．

基本问题：

角度

长度

位置关系

四．

基本思想：

数形结合

基底转化

类比

BD⊥CE

BDCE0

ABa，ADb，

1CEab，BDba

2猜一猜

分析：

设ABa，ADb，AA1c

BD1BAADDD1abc

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八、参考文献——————————————————————————————

1.张景中、彭翕成.

论向量法解几何问题的基本思路

《数学通报》

2008第2期

6-10

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2.张景中、彭翕成.

论向量法解几何问题的基本思路续

《数学通报》

2008第3期

31-36

3.李尚志. 中学数学中的向量方法

《数学通报》

2007第2期

1-8

4.李尚志. 中学数学中的向量方法续

《数学通报》

2007第3期

1-8

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