习题2.3优秀课堂实录

直线与平面垂直的判定教学设计

吐鲁番市实验中学

马晓婧

人教社a版教材必修2

2.3.1

内容和内容解析

直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

学情分析

学生已经学***面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。但是学生对用“有限”代替“无限”的过程存在的思维障碍。同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强。

教学目标

知识与技能

1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；

2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理； 3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；

过程与方法 1.通过定理的探究过程，培养和提高学生的探究能力和动手能力。 2.通过对直线与平面垂直的感性认识进一步培养学生的空间想象能力。 情感态度价值观 通过探究过程进一步培养学生学习空间几何的兴趣。 教学重点

1.直线与平面垂直的定义；

2.直线与平面垂直的判定定理．

教学难点 1.直线与平面垂直的判定定理的探究; 2.定义和定理中转化思想的挖掘．

教学过程

一、

新课引入与讲授 1.

复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．

设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．

2.

举现实生活中直线与平面垂直的实例，并结合课件中图片在课堂展示，给学生直线与平面垂直的感性认识。进而提出问题：一条直线与一个平面垂直的数学定义是什么？ 设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备。

我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系, 直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系。

3.问题：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线的位置关系是什么？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？

设计意图：引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵。

师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。

设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．

师生活动：学生回答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线

l与平面α互相垂直，记作：

l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图。

任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？

思考：类比线面平行的判定，能否由线线垂直得到线面垂直？

如果一条直线与平面内的一条直线垂直，能否说明线面垂直？

如果一条直线与平面内的两条直线垂直，能否说明线面垂直？

如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，能否说明线面垂直？

都是否定的

那么，该怎样判定线面垂直呢？

二.判定定理的探究

实验：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

设计意图：引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线。

师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD。这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面。

由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？

线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

结合图形，让学生上台写出定理的符号形式，并加以更正讲解

点评定理的地位：体现“线面垂直”与“线线垂直”互相转化的数学思想；及注意点：“两条直线要相交”。

三.初步应用

例1、

点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD。

设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用判定定理的条件。

请同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件

例2、如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α

设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理或用定义证明直线与平面垂直，体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系。

师生活动：教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法。学生在练习本上完成

四.总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？

（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题进行质疑和概括。

师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法：这些方法体现了转化的数学思想。同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。

五、作业

练习1

圆O所在一平面为，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA

AC, PA

AB,求证：

（1）PABC

（2）BC 平面PAC （3）图中哪些三角形是直角三角形

练习2.如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

求证：SD⊥平面ABC