二、圆锥曲线的离心率与统一方程优秀课堂实录

《圆锥曲线定义》教学设计

一、复习目标：

1．熟练掌握圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及椭圆的参数方程

2．掌握方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等

二．基础知识：

1．椭圆

1)椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点的距离到一定直线的距离之比是小于1的正常数的点的轨迹。

注意：(1)椭圆的定义用点集语言叙述：①点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；②点集M={P| ，0＜e＜1的常数｝。

(2)定义①中的定长大于| F1F2|避免了动点轨迹是线段或不存在的情况,定义②中的0＜e＜1,区别于另两种曲线。

2)标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；

焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中

（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；

焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

3)性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质：

① 范围：|x|≤a，|y|≤b；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；

③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；

④ 离心率：e=（焦距与长轴长之比）；

⑤ 准线方程：；

⑥焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。

焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）的性质可类似的给出

2．双曲线

第一定义：平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于2a(2a<| F1F2|)的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数(e>1)的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质

标准方程

图形

对称

关于x轴，y轴和原点对称

焦点

焦距

范围

F1（-，F2（

| F1F2|=2c F1（，F2（

性

质

顶点

轴

离心率

准线

渐进线

焦半径

（-a，0）。（a，0）

（0，-a）（0，a）

实轴长2a，虚轴长2b 注意：1直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。

利用共渐进线的双曲线系或方程解题，常使解法简捷。

2双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为当点P在左支（或下支）上时，为利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，

当求动弦的中点轨迹方程时，除参数法外常利用平方差法。

二．题型归类

题型一：有关几何量的计算

例1：(1)已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率e=_______。

(2)若双曲线的两条渐进线夹角是2α，则离心率e= ；若双曲线的离心率是e，求它的两条渐进线夹角为 。

(3)抛物线y=4ax2的焦点坐标是_____________. (4)设抛物线y2=2x，线段AB的两个端点在抛物线上，且|AB|=3，那么线段AB的中点M到y轴的最短距离是 。

解：(1)设椭圆方程为（a＞b＞0）,, F1（－c，0），则点，由PO∥AB得kAB=kOP即，∴b=c，故。

(2)由题设知，或 ∴离心率。

设两条渐进线夹角是, ∵

∴若，则夹角；若，则夹角

（3）焦点F (4)∵|AB|≤|AF|+|BF|=xA+xB+p，∴中点M到y轴的距离xM=(xA+xB)≥(|AB|-p)=1 题型二：求曲线方程------常用待定系数法

例2：(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3。求椭圆的方程。

(2) (06江苏高考)已知三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)，设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P/、F1/、F2/，求以F1/、F2/为焦点且过点P/的双曲线的标准方程。

(3) 求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程。

解：(1) ∵椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3，∴点A不是长轴的端点。∴|OF|=c，|AF|=a=3，∴c=2，b2=5。∴椭圆方程是，或。

(2)点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6). 设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为

【思维点拨】本小题主要考查双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。

(3)因为焦点在坐标轴上，所以焦点为或，故抛物线的标准方程为或

三．作业：

1．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2),M().由消去y得.∴=1－,∴,∴由得……①;又OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴,∴a+b=2……②.联立①②得,∴方程为. 【思维点拨】“OA⊥OBx1x2+y1y2=0”(其中A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论. 2．已知双曲线（a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面积．

解：在ΔF1PF2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜sinθ ①(2c)2＝｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜cosθ

②由双曲线的定义可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a, 即｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜

2-2｜ＰＦ2 １｜·｜ＰＦ２｜=4a③ 由②③得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=④

将④①代入得ＳΔF1PF2＝b2=b2cot,所以双曲线的焦点三角形的面积为b2cot．

3．已知Ａ（，３）为一定点，Ｆ为双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标．

解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜ＭＰ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小。此时Ｍ（，３）。