1.1.3 四种命题间的相互关系教案3

四种命题

四种命题间的相互关系

教学设计

四种命题

四种命题间的相互关系

思考并完成以下问题

1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？

2．什么样的两个命题有相同的真假性？

3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？

1．原命题与逆命题

2．原命题与否命题

3．原命题与逆否命题

4．四种命题的真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性(

) (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系(

) 答案：(1)√

(2)√

2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

答案：B 3．命题“若x2>y2，则x>y”的否命题是_____________________________________．

答案：若x2≤y2，则x≤y 4．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2≠1，则a≠1，则命题p与q的关系是________．

答案：互为逆否命题

例：

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)对顶角相等；

(2)全等三角形的对应边相等．

[解] (1)原命题：如果两个角是对顶角，则它们相等；

逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；

否命题：如果两个角不是对顶角，则它们不相等；

逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角．

(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

四种命题的转换方法

(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命

题的逆否命题．

[注意] 四种命题转换时关键是把命题写成“若……则……”的形式．

[活学活用] 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0. 解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2. [典例] 判断下列命题的真假．

(1)“正三角形都相似”的逆命题．

(2)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．

(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

[解] (1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．

(2)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根，

所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－4，

故m≤0，为真命题．

[一题多变] 1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？

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解：原命题的逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．

因为方程x2＋x－m＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m≥0，所以m≥－4，故逆命题为假命题．

2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？

解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－4，故m≤0，为真命题．

解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．

[典例] 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. [证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

“正难则反”的处理原则

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(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．

(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．

[活学活用] 证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n>2，则m2＋n2≥2(m＋n)2>2×22＝2，

所以m2＋n2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

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