习题2.1公开课教案

教学设计方案

课题名称

姓名

年级学科

曲线与方程习题

罗树军

高二年级数学学科

工作单位

河北省张家口康保县第一中学

教材版本

人教版A版选修2-1 一、教学内容分析

课程标准对圆锥曲线这部分的要求是能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（比如：直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。学习了椭圆、双曲线、抛物线知识之后，学生对这些知识掌握是散乱的，停留在表性认识层面上，既然三者被统称为圆锥曲线，说明它们有统一共性问题。本节课就是为解决该问题，使学生提升认识，利于数学思想的渗透

,其次利于学生分层学习的需要，第三，利于培养学生能力而设计的。

二、教学目标

（一）知识目标

1. 掌握坐标法解决解析几何问题的方法，建立数形结合思想、函数与方程思想；

2. 掌握如何依据已知条件列出适当的方程（或方程组），利用点差法与设而不求法求解相关问题。

（二）能力目标

1. 让学生经历圆的中点弦，切线和切点弦的求法过程，类比于椭圆、双曲线和抛物线的中点弦，切线及切点弦的求法过程，提高学生解决问题能力；

2. 通过解题过程学习，让学生领悟类比思想和转化思想在解题中的应用；

3. 通过解题过程中融入数学建模思想，增强学生的数学应用意识，提高学生的抽象概括能力。

（三）情感目标

1. 通过对具体问题的探究，让学生体会坐标法在研究解析几何中的作用，进一步发展学生的分析问题与解决问题的能力；

2. 以例题讲练为学习载体，促使学生形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辩证唯物主义观点，培养学生勇于探索的精神和创新意识。

把坐标法与点差法、设而不求法相结合作为重点，准确迅速化简、变形作为难点。

三、学习者特征分析

通过前面的学习学生对用坐标法来研究解析几可问题已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：

1. 知识层面：

学生已经完成了本章新课部分的学习

,同时，在前面的复习中也掌握了坐标法理论和方法，这些都为本节课的学习奠定了基础。

2. 能力层面：

学生对章节的知识结构图已有所掌握，并具备了一定的归纳、类比、自主探究及合作交流的能力。

3. 情感层面：

经过圆基础知识复习之后，学生迫切需要用坐标法解决圆锥曲线的问题

--求中点弦、切线、切点弦的问题，因此参与本节学习的积极性会比较高。

四、教学过程

1、圆锥曲线的中点弦问题

且M恰为线段AB的中点，求直线l的y29内一点M1,2作直线l交圆C于A,B两点，111

即

xk

AB方程．解一: 由kOM2，得，





直线方程为

y



2





2

x

，



2y502

问题

过圆C:x2

解二: 设Ax,y，则B2x,4y，由已知有

22y B M A o x

x2y29，① 2x4y9．

②

x2y24x8y209．③

由②得 4x8y200，即

x



①减③，得

2

y



5



0

．

④

ly2r2内一点Mx0,y0作直线l交

圆C于A,B两点，且M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．

探究1

过圆C:x2

解：设Ax,y，则

B



2

x

0



x,2

y

0



y

,由已知有

x

2



y

2



r

2

，



2



2

y0



y



2



r

2

．②



2

x

0



x2222

由②得

x



y

0

y



x

0



y

0

．

4x0x4y0y4x04y00即

x0x2y24x0x4y0y4x04y0r2.③

①减③，得 ,22

结论1 圆的中点弦方程: x

0x

y0yx0

探究2

过椭圆C且M恰为线段22y02x2y2:

2



2



1



a



b



0

内一点

M



x

0

0



作直线l交C于

A

,

B

两点，

,yabB y M A O y0







2

2

x

0



x

y



．

②

即

x

2



4

x

0x



4

x

02

y

2

4

y0

y



4

y

02

．

③ 1122a2b2ab 22x0xy0yx0y02

22

①减③，得

a

2

b．b

aAB的中点，求直线l的方程．

x2y2

解：设

A



x

,

y

，则

B

2

，由已知有





1，①

x0x,2y0ya2b22l22

结论2

过椭圆C: x



y



1



0



内一点M



x

作直线l交C于

两点，且M恰为线段

AB

的A

,

Ba

b

0,y0a2b222x0xy0yx0y0中点，求直线l的方程．

椭圆的中点弦方

2222abab

探究3

过双曲线C中点，求直线l的方程．

22x0xy0yx0y0

结论3

双曲线的中点弦方程

a2b2a2b2x2y2：

2



2



1



a



0,

b



0



内一点

M



x0

,

y

0

作直线l交C于A

,

B

两点，且M恰为线段AB

的ab

探究4

过抛物线C：



2

px



p



0



内一点

M



x

0

,

y

0



直线l交C于

A

,

B

两点，且M

恰为线段

AB

的中点，

y2求直线l的方程．

2

结论4

抛物线

y



2

px



p



0



的中点弦方程

y

0ypxy0px02

2、过圆锥曲线上一点的切线方程

x

y

y

归纳：圆的切线方程

x0

x

0

y



r

2；椭圆的切线方程

x

0



y0

1

；双曲线的切线方程

22ab

3、圆锥曲线的切点弦方程

探究5

1.已知圆C：

y

2



r

2

，过圆C外一点

M



x

0

,

y

0

作

x

2

y

圆C的

MA

,

MB

切线，切点分别为

A

,

B

，求直线AB的方程．

B

解一：设A



x

1

,

y

1

,

B



x

2

,

y

2

，则切线

MA

,

MB

的方程分别为

x

2，

x

r

2

．因为点

M



x

0

,

y

0



在切线上，

x

y

y

1xy1yr

有

x

1

x

0



y

1

y

0



r

，

x

2

x

0



y

2

y

0



r

2

，直线22x0xy0y21a2bM 2AB的方程为

y



x

0

x



y

0

r

．

解二：设

A



x

1

,

y1



,

B



x

2

,

y

2



，则

MA

,

MB

切线的方程分别为

x

x



y

y



r

2

，

x

x



y

y

2

．



r11222

这表明Ax1,y1,Bx2,y2的坐标是方程x0xy0yr2的解，直线AB的方程为x0xy0yr2．

x2y21ab0a2b2

探究6过椭圆C：

外一点

M



x

0

,

y

0

作椭圆的

MA

,

MB

切线，切点分别为

A

,

B

，

则直线

xyyAB的方程为________________________．(

x

0

2



02



1

) abx2y2

探究7 过双曲线C：

2





1



a



0,

b



0



外一点

M



,

y

0



作双曲线的切线

MA

,

MB

，切点

分别为，

x0ab2xxyy

A

,

B

则直线AB的方程为

．(

0

2



0

2



1

)

ab

4.总结归纳

圆锥曲线C：Fx2,y20，点Mx0,y0

,

y



(1) 中点弦方程: F



x

0

x

,

y

0

y

F



x

0



0

(2)

切线方程:

F



x

0

x

,

y

0

y



0

(3)

切点弦方程:

Fx0x,y0y022五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

归纳总结，形成概念

这个教学环节是让学生

建立模型，推导公式

让学生类比于圆的方法来探求椭圆、双曲线、抛物线的中点弦的公式。

由于学生已经具备了类比、归纳和结构的能力，所以在教学中让学生去探索，最后回忆两圆相交的相交弦及中点弦解决问题的基本步骤。

预设学生活动

设计意图

让学生通过回忆知识发现规律，符合学生认知特点，能够增强其探求知识的欲望，为下个内容的形成做好铺垫，从而能够顺利进入第二个环节。

在此环节中，学生通过合作交流，形成准确的公式，从而突破了重点，符合从感性上升为理性的认知规律，提升了抽象概括的能力。

帮助学生重温

求解的一般方法，

使学生能温故而知新，让学生自己去推导解决问题，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。在探讨的过程中，提高了学生的运算能力和观察分析，归纳总结能力。而老师则作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极讨论和参与体验，渗透数学美学教育。

应用拓展，提高能力

教师总结归纳。

六、教学评价设计

评价能促进学生的学习发展，本节课的主要评价有：

1、提出问题，这节课你学到了什么？教师鼓励学生积极回答问题，答不完整者有其他同学进行补充回答。以此调动学生上课的积极性，培养学生的口头表达能力，以及归纳概括能力。

2、写作评价，布置家庭作业，同学在课下能及时的复习上课学习的内容，使知识得到巩固。

七、教学板书

圆锥曲线C：Fx2,y20，点Mx0,y0

xx

中点弦方程

F



0

x

,

y

0

y





F

0

,

y

0

切线方程

F

x

0

x

,

y0y

切点弦方程

Fx0x,y0y0220

八、教学反思

在高中数学教学过程中，问题与活动是紧密相连的，没有问题，就没有学生的思维参与，也就没有学生的真正活动。教师必须设计问题，引导学生去思维，引导学生主动进行数学活动。在这节课上，教师首先设计初始问题“类比直线、圆的位置关系判断方法如何判断直线和椭圆位置关系”，在此基础上设计问题串，这些问题与学生的思维过程匹配，与学生的情感匹配，与学生的探究途径匹配，与数学思想方法匹配。对于每个具体问题的解决，也是通过问题串来引导学生进行数学的思维的。

数学教学最终是为了促进学生的发展，培养自主的学生。数学教学是思维的教学，要培养自主的学生，首先要考虑学生自主的思维，考虑学生在学习过程中能自主提出问题、自主解决问题、自主反思升华等。《普通高中数学课程标准

(实验

)》明确提出要培养学生“提出问题、分析问题、解决问题”的能力，发现问题、提出问题是创新的前提，因而，要使学生成为“自主的学生”，就要在教学中培养学生提出问题的能力，不仅要给他们时间和空间，而且要给他们提出问题的策略和方法训练。