1.1.1 命题含PPT的教学设计及点评

命题及其相互关系

诊断自测

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则￢q”．(

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(

) 解析

(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．

答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

命题及其相互关系[例1] 以下关于命_题_的填_说_写_法所_正有_确正)．_

的(确有命①“若l2ao>0，g则f(x)函＝la数xo(a>0，ga≠在1其)定义”是真命题；域内

是②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠；0

”③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题

为真命④命题“若a∈M，则bM”与命题“若b∈M，则aM”等价．

解析

①不正确．由log2a>0，得a>1，

∴f(x)＝logax在其定义域内是增函数．

②正确．由命题的否命题定义知，该说法正确．

③不正确，原命题的逆命题为：“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，

是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数．

④正确．两者互为逆否命题，因此两命题等价．

答案

②④

1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

2．(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断．

【训练1】

(1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真、假、真

B．假、假、真

C．真、真、假

D．假、假、假

解析

(1)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1、z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.答案

(1)B

(2)(2018·广东广雅中学联考)给出下列命题：①“∃x0∈R，x20－x0＋1≤0”的否定；②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3

解析

(2)①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；

②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3

(2)C 【训练1】[例2] (1)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”

是“m·n<0”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

(1)存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，

反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件．答案

(1)A [例2] (2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

(2)x>y ⇒

x>|y|(如x＝1，y＝－2)．但x>|y|时，能有x>|y|≥y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．答案

(2)C 规律方法：

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

【训练2】

(1)(2018·江西九江十校联考)已知函数则“x＝0”是“f(x)＝1”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

xe，x≥－1，f(x)＝ln（－x），x<－1，解析

(1)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件．答案

(1)B

【训练2】

(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

(2)由S4＋S6－2S5

＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，

当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5；

反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．答案

(2)C [例3] (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．

∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P. 1－m≥－2，∴

1＋m≤10，解得m≤3. 又∵S为非空集合，

∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 综上，可知当0≤m≤3时，

x∈P是x∈S的必要条件．

[迁移探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．

解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，∴

1＋m＝10，m＝3，∴

m＝9，

这样的m不存在．

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．

解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．