1.4.1 全称量词教案范文

第6课时

全称命题与特称命题的应用

1.进一步熟悉含量词的命题的否定形式并判断真假.

2.会将全称命题、特称命题与充要条件结合,进行综合应用.

3.会将全称命题、特称命题与逻辑联结词结合,进行综合应用.

前面我们讲过一个故事:一位文艺批评家在路上遇到歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪明,一边高傲地往前走,一边大声说道:“我从来不给傻子让路!”面对如此尴尬局面,只见歌德笑容可掬,谦恭地闪在一旁,一边有礼貌地回答道:“呵呵,我可恰恰相反.”

问题1: “我从来不给傻子让路”的等价命题是“只要是傻子,我都不会给他让路”,歌德表达的意思正是对命题“只要是傻子,我都不会给他让路”的否定,那么这个命题的否定是

只要是傻子,我有时会给他让路

.

问题2: “且”“或”“非”命题的真假性判断原则

(1)“且”命题“一假则假、皆真则真”; (2)“或”命题“

一真则真、皆假则假

”; (3)“非”命题与原命题的真假

相反

.

问题3:全称命题和特称命题的定义及其表示

含有全称量词“所有的”“任意一个”的命题,叫作全称命题,记为

∀x∈M,p(x)

.

含有存在量词“存在一个”“至少一个”的命题,叫作特称命题,记为

∃x0∈M,p(x0)

.

问题4:几种命题的否定

(1)∀x∈M,p(x)成立的否定是

∃x0∈M,p(x0)不成立

.

(2)∃x0∈M,p(x0)成立的否定是

∀x∈M,p(x)不成立

.

(3)p∨q的否定是

¬p∧¬q .

(4)p∧q的否定是

¬p∨¬q .

利用全(特)称命题的真假求参数的取值范围

已知命题p:∃x0∈[0,],cos 2x0+cos x0-m≥0的否定为假命题,求实数m的取值范围.

全(特)称命题与充分必要条件

已知p:∀x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a<0恒成立, q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的(

).

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

有关全(特)称命题的复合命题的真假性判断

已知m>0,命题p:定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,且2f(x)

(2014年·重庆卷)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.

则下列命题为真命题的是(

).

A.p∧q

B.¬p∧¬q

C.¬p∧q

D.p∧¬q

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:只要是傻子,我有时会给他让路

问题2:(2)一真则真、皆假则假

(3)相反

问题3:∀x∈M,p(x)

∃x0∈M,p(x0) 问题4:(1)∃x0∈M,p(x0)不成立

(2)∀x∈M,p(x)不成立

(3)¬p∧¬q (4)¬p∨¬q

重点难点探究

探究一:【解析】因为¬p是假命题,所以命题p是真命题,即命题p:∃x0∈[0,],cos 2x0+cos x0-m≥0为真命题, 即∃x0∈[0,],使m

≤cos 2x0+cos x0成立.

令f(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1=2(cos x+)2-,因为x∈[0,],cos x∈[0,1],所以f(x)∈[-1,2].

所以当m≤2时,∃x0∈[0,],cos 2x0+cos x0-m≥0.

【小结】特称命题的否定是全称命题,而且它们的真假相反,转化时最好转化为真命题解答.

探究二:【解析】关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,因为x∈[-1,2],所以t∈[

,4],则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对∀t∈[

,4]恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈[

,4]时,ymax=10,所以a>10.

关于q:只需a-2>1,即a>3.

所以p是q的充分不必要条件.

【答案】A

【小结】本类题目主要是利用全称命题、特称命题的定义,结合充分必要条件、参数等综合应用.理解并转化往往是解题的关键,求解本题时将恒成立问题转化为求函数的最值问题.

探究三:【解析】当命题p为真时,定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,

①

将其中的x换为-x,可得f(-x)+g(-x)=e-x, 即f(x)-g(x)=e-x,

②

由①②可得f(x)=

-

,

则要使2f(x)2f(x)-ex=e-x恒成立,只需m>(e-x)max即可.

又函数y=e-x在[ln,2]上为减函数,因此(e-x)max=

-

=2,故只需m>2.

若命题q为真,则0

由于p∧q为假命题,p∨q为真命题,故p,q一真一假.

当p真q假时,则m满足

当p假q真时,则m满足

故m>2;

故0

综上可知,m的取值范围为(0,1)∪(2,+∞).

【小结】解决本题时注意以下几方面:(1)对于命题p,综合利用了函数解析式的求法、函数的性质、恒成立问题等,并考查了方程思想的应用;(2)对于恒成立问题一般采用分离参数的方法,将其转化为求函数的最值问题;(3)根据题意p,q一真一假求m的取值范围时,利用了分类讨论的数学思想.

全新视角拓展

【解析】因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,即q为假命题.则p∧q和¬p为假命题,¬q为真命题,¬p∧¬q和¬p∧q为假命题,p∧¬q为真命题,故选D.

【答案】D 思维导图构建

必要条件

充要条件

至少一个

两个都

p∨q p∧q