1.2.1 充要条件ppt课件配套教案内容

1.2充分必要条件（学案）

学习目标

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明. 知识梳理

知识点一

充分条件与必要条件

思考

用恰当的语言表述下列语句的意义. ①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；

②只有同心协力，才能把事情办好.

梳理

(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的

条件. (2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的

条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的

条件. 知识点二

充要条件

思考

在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

梳理

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的

条件，简称充要条件. (2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}. 二、题型探究

类型一

判断充分条件、必要条件、充要条件

命题角度1

在常见数学问题中的判断

例1

下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；

(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交. 解

反思与感悟

判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ，P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度. 跟踪训练1

指出下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

6(2)p：|x－2|<3，q：<－1；

x－5(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；

α>2，α＋β>4，(4)p：q：

αβ>4.β>2，

命题角度2

在实际问题中的判断

例2

如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？

反思与感悟

“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻. 跟踪训练2

俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的(

) A.充分条件

C.既不充分也不必要条件

类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1

充要条件的探求

例3

求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？

反思与感悟

探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件. 跟踪训练3

已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由.

B.必要条件

D.无法判断

命题角度2

充要条件的证明

例4

已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要→→→条件是OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1.

反思与感悟

证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.

跟踪训练4

已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.

类型三

利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围) 例5

已知函数f(x)＝3－x＋22－x的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B. (1)求A；

(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

反思与感悟

在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围. 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤

(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则M＝N；

(3)根据集合的关系列不等式(组)；

(4)求出参数的范围. 2x1跟踪训练5

设A＝{y|y＝x，x∈R}，B＝{y|y＝x＋m，x∈[－1，1]}，记命题p：“y∈A”，32＋1

命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_____________.

小结：

充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法

(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论. (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题. (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.