3.2.2 直线的两点式方程教学设计

【教学目标】

1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。【教法指导】

教学重点:直线方程两点式和截距式. 教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形. 【教学过程】

☆情境引入☆

思考1:由一个点和斜率可以确定一条直线，还有别的条件可以确定一条直线吗？

问题：

已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程

解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）

将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得

y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0

kl55223☆探索新知☆

1．探究：直线的两点式方程

问题一：利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P,2),P2(3,5),求直线l的方程. 1(1（2）已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。

设计意图：遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。

问题1：问题（1）、（2）中直线的斜率分别是多少？

设计意图：让学生明确研究思路，从直线的斜率入手

问题2：应用点斜式方程yy0k(xx0)求问题（1）、（2）的直线方程分别是什么？

[来源: ]根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

（1）y23(x1)

2（2）yy1y2y1(xx1)

x2x1其中(x1P1(x1,y1),P2(x2,y2)归纳：经过两点x2,y1的y)直线方程为yy1xx1(x1x2,y1y2)称该方程为直线的两点式方程

y2y1x2x1问题二：若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

[来源: ]当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1

应用1

[来源: ] 例1：课本P96例3 变式训练：已知菱形的两条对角线长分别为8和6,并且分别位于x轴和y轴上,求菱形各边所在直线的方程. 练习：已知△ABC的三个顶点为A（2,8）B（-4,0），C（6,0）. 求: (1) 直线BC的方程;

[来源: ] (2) 经过点B且将△ABC的面积平分的直线方程. 2．探究：直线的截距式方程

问题3：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

归纳：与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0的直线l方程为：追问1：直线在x轴上的截距是多少？在y轴上的截距是多少？

追问2：截距式方程能否表示过原点的直线和与坐标轴平行的直线？

例1:求过A(2,1),B(3,3)两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式. 分析：直接代入两点式方程

解：xy1

aby(3)x3

1(3)23

点斜式（y-1）=-4(x-2)

例2：已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0 求l的方程

例3：已知三角形的三个顶点A（－5,0），B（3，－3），C（0,2）求BC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

解：将B，C两点代入两点式，得y(3)x3

2(3)03整理，得：5x＋3y－6＝0，这就是直线BC的方程。

x1x2x2设BC的中点为M（x，y），由中点坐标公式，得

yy1y22[来源: ]

M（303231,)，即M（,）

2222中线AM所在的直线方程为：y0x5，整理，得：x＋13y＋5＝0 130522

☆课堂提高☆

1．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(

) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 D [当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，

2将(5,2)代入得，y＝x，即2x－5y＝0；

5

xy9当b≠0时，方程设为＋＝1，求得b＝，∴选D．] 2bb22．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．

3y－＝2(x－2) 21解析

kAB＝－，由k·kAB＝－1得

23k＝2，AB的中点坐标为2，，

23点斜式方程为y－＝2(x－2)．

23．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．

(0,1) 解析

要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，连接A′B，直线A′B与y轴的交点P即为所求点．

4．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．

☆课堂小结☆

通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

☆课后作业☆

1.必做题：P97练习 P100 3-4题

2.选做题：P101 1题