3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学内容

《直线的倾斜角与斜率》教学设计

学科

数学

课题

直线的倾斜角与斜率

教

学

目

标

1.

知识与技能：

正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。

2.

过程与方法：

通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。

3.

态度情感与价值观：

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。

1、

抽象概括直线的倾斜角和斜率概念

2、

探究发现过两点的直线的斜率公式

多媒体课件

教学过程

教

学

难

点

教学方法

倾斜角概念形成

斜率概念的理解。

师生互动、引导学生主动发现探索

教

学

重

点

教学

手段

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。

同时使学生明确本课学习的内容。

导

入

1、对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？（两点确定一条直线）

2、问题：

还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？

3、问题:在直角坐标系中，图中的四条红色直线在位置上有什么联系和区别？

经过同一点

倾斜程度不同

生：相互讨论完成引例.

师：引导学生分析归纳概括得出结论．

师生：共同总结出直线方程的概念。

新

知

探

究

︵ 一

︶

问题2、：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线直

线

的区别在哪里？

的

倾

斜

角

新知探究（一）直线的倾斜角

问题1、：如图1，对于平面直角坐标系一次函数 y=kx+b的图象是什么？其中k，b的几何意义如何？

你认为它的位置由哪些条件确定？

指定学生回答，教师给与补充、纠正

师生：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x

概

念

形

成

1、明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

2、引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

1、探索描轴的相对倾斜程度呢？

生：观察图述直线的形，相互讨倾斜程度概念形成：倾斜角的定义

论，但是在的几何要倾斜角定素，由此引义得出时出倾斜角会有困难。

的概念。

师：给学生2、让学生鼓励、引明确倾斜导，师生共角的取值

同得出倾范围是0°倾斜角的范围是什么？

斜角概念。

≤α＜特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜从实例入180°

引出用告知目标，角为0°，那么直线的倾斜角的取值范围是手，倾斜角的明确思维0°≤α＜180°

正切值表的方向，将

示斜率。

几何要素代数化。

思考:任何一条直线都有倾斜角吗？

不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

新

知

探

究

︵ 二

︶

直

线

的

斜

率

新知探究（二）直线的斜率

问题1:函数y=x,y=3x的图象是直线，这两条直线的倾斜角分别是多少？ 问题2：上述两条直线的倾斜角分别与x的系数有什么关系？ 问题3:初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它能否表示直线的倾斜程度？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？

1、基于学生的客观师:引导学现实，结合生在生活已有的生中举例，山活经验寻坡，楼梯找几何要等，教师楼素代数化梯的教学的方法。

情景。

2、探索描生：探索、述直线的交流。用数倾斜程度

学语言表的代数表达自己的从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，示，由此引发现。

“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为出斜率概还可以用来刻画直线的倾斜程度

念

坡度（比）=升高量前进量概念形成：

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k=tanα

思考：那么任何一条直线都有斜率吗？

思考:倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值范围是什么？

思考:斜率相等的直线其倾斜角相等吗？斜率大的直线其倾斜角也大吗？

学生自己完成然后思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜教师组织角一定不相同吗？

间互相交是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？

流，共同得（倾斜角与斜率一一对应吗？）

出结论。

教师指定学生强调

明确可以用斜率表示直线的倾斜程度，但并非所有的直线都有斜率

新知探究（三）直线的斜率公式

问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

思考：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?

新

知

探

究

︵ 三

︶

直

线

的

斜

率

指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。

让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。

师生：总结两点式斜率计算公式：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=

（x1≠x2），检验得到k=公式与P1，（x1≠x2）。

P2两点的顺序无关。

知

识

应

用

【例1】

判断下列命题的真假：

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；

D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等

E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)..

F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线

【例2】如图，已知A(4,2)、B(－8,2)、C(0,－2)，

求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线

的倾斜角是什么角？

学生回答

帮助学生巩固基本概念，发现易错点。

师：

要求学生画图，体验数形结合的思想方法。

【例3】在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。

1、根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

2、给学生创造一个动手探究、学以致用的机会，要求学生画图，体验数形结合的思想方法。

课

堂

练

习

【练习】

1、已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：

(1) 错误！未找到引用源。＝0°；（2）错误！未找到引用源。＝60°；(3) 错误！未找到引用源。＝90°；（４）150°

2、直线错误！未找到引用源。经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是

3、过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4、已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是 . 5、.已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是 . [来源:学科网ZXXK]教师根据课堂实际时间，确定练习与否

对斜率进一步巩固。

6、已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。

学生思考，回答让学（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有生归纳出什么关系？

刻画直线倾斜程度（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

的两种方（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）、

法：倾斜角也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么（形）和斜数学思想？

率（数）。

提问：

课

堂

小

结

总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。

作

业

课本p86 练习 1.2.3 P89 习题3.1 A组 1，2

学生独立完成

通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。