3.1直线的倾斜角与斜率（通用）第二课时教案

§3.1.1直线的倾斜角与斜率导学案

教学目标

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.掌握求直线斜率的两种方法. 3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．

教学重点难点

重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式．

难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式．

学习过程

一、自主学习

在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 问题1：直线l的位置能够确定吗？

提示：不能．

问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？

提示：无数条．

问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？

提示：倾斜程度不同．

二、合作探究

1.倾斜角的定义：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.

注：倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

2．倾斜角的范围：

直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的

直线的倾斜角为0°.

1

3．倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

直线

【提出问题】

升高量日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进前进量322升2”比较，前者更陡一些，因为坡度2＞2. 问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？

提示：可以．

问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？

提示：可以．

问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？

提示：与倾斜角的正切值相等．

1．斜率的定义：

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．

常用小写字母k表示，即k＝tan_α. y2－y12．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.x2－x1当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．

3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

注：倾斜角α与斜率k的关系

(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

2 α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

[来源:Z+xx+k.Com]

(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．

当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；

当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．

(3)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如y1－y2y2－y1果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. x1－x2x2－x1用斜率公式时要一看，二用，三求值．

一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；

二用，就是将点的坐标代入斜率公式；

三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

练习1:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，

违背了定义中的哪一条？

o

y

y

x

o

（2）

y

x

o

y

x

（1）

（3）

o

x

（4）

练习2:已知直线的倾斜角,求直线的斜率：

1a30

2a45

3a60

4a120

5a150

3

三、精讲释疑

例1:关于直线的倾斜角和斜率，其中＿＿＿＿说法是正确的.

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；

D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等

E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).. F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线

例2:如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，

求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

例3:(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；

(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；

(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．

【解析】(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，

又k＝－3－y－3－y，由＝－1，得y＝－5. 2－42－44－m＝1，得m＝1. m＋2(2)由斜率公式k＝(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．

当m≠3时，k＝－2－13＝－＝1，解得m＝0. m－3m－3【答案】(1)－5

(2)1

(3)0

4

能力提升：

y例4：

已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求x的最大值和最小值．

【解析】

如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

y2y由于x的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝3，所以可求得x的最2大值为2，最小值为3.

y2－y1小结：根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想x2－x1其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．

变式训练4：点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．

y＋1y－－1解：＝x＋1x－－1斜率．

∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，

∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．

51∵kNA＝3，kNB＝－6，

1y＋15∴－6≤≤. x＋13∴

5 y＋1x＋1的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的y＋115的取值范围为[－6，3]．

x＋1

四、检测训练

1．若直线过点

(1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是(

) A．30°

B．45°C．60°

D．90°

112．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则a＋b的值等于________．

3．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．

4．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－3，3)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．参考答案：

1.解析：选A

设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝3＝3. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°. 12．

23．(3,0)或(0,3)

4．解

考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，

3由题意知tanα1＝1，tanα2＝－3，

故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°，

[来源学科网][来源学科网ZXXK]

2＋3－23＝3，∴tan α4－1根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.

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