一元一次不等式组的解法优质公开课教案

第二十二章 一元二次方程

2.5一元二次方程的根与系数的关系

授课人：北杨集一中 周思龙

教学目标：

1.能说出根与系数的关系； 2.会利用根与系数的关系解有关的问题. 3.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯； 重点和难点：

重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程：

一、回顾旧知

1、一元二次方程的一般形式？

ax2bxc0(a≠0) 2、一元二次方程根的判别式是什么？有实数根的条件是什么？ 2△=b4ac △0

3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？

4、一元二次方程的求根公式是什么？ bb24ac2 x(b4ac0)

2a

二、创设情境

通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？

1．请说出解一元二次方程的四种解法. 2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

(1)x22x10

2x23x10

(2)

(3)2x23x10

方程

x1

x2

x1x2

x1x2

让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明. 三、探究归纳

方程

x22x10

x1

1 x2

1 x1x2

2 x1x2

1 -1 x223x10

232

1 3-2

12

23

32

12x3x10

2

bc通过以上表格你发现了什么结论？并加以证明。（x1x2,x1.x2）

aa证明过程师生共同完成。

我们如果知道方程ax2bxc0(a≠0）有两个根，则根分别为：

bb24acbb24acx1,x22a2abb24acbb24ac2bbx1x22a2a2aa

bb24acbb24acb2b24accx1.x2.22a2a4aa归纳总结：

一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2bxc0(a≠0)的两个根是x1,x2, bc那么x1x2,x1.x2. aa注：能用根与系数的关系的前提条件为b24ac0

一般地，对于关于x的方程x2pxq0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1,x2，算一算x1x2,x1x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致. （此探索过程让学生分组进行交流、协作完成）

结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.（注：只适用于二次项系数为1时）

探索过程（让同学们自己按照老师上面的过程证明推论）

x2pxq0a1，bp，cqb24acp24q02bb24acpp4qx2a2x1pp24qpp24q，x222p24qpp24qp22p24qpp24qq22

x1x2x1x2四、练一练

pp写出下列各方程的两根之和与两根之积：（不解方程）

1、x22x1012、2x23x023、2x2-6x0

（此题让学生快速作答，看看谁说的又快又对。）

五、实践应用(精讲精练) 注重练习一元二次方程根与系数关系的应用，按照以下两种题型专题训练

1、求代数式的值

例1、已知方程3x22x90的两根是x1,x2，求：

11(1)x1x24、3x24(2)x1x2

（老师重点讲解，逐步引导学生利用根与系数的关系去解决问题）

2、已知方程的一个根，求另一个根。

例 2 已知方程x2(k1)x3k0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

解法一：设方程的另一个根为x1，把x=2代入方程，得k=-2. 由根与系数关系，得x1.23k

即2x16

x13

答：方程的另一个根是-3 , k的值是-2。

解法二：设方程的另一个根为x1

22

由根与系数的关系得x12k12.x13k

解得 x13k2答：方程的另一个根是-3 , k的值是-2。（你还有别的解法吗？）

引导学生善于探索，发现。

六、课堂小结

1、一元二次方程根与系数的关系及其推论. （两根之和与两根之积与系数的关系）

2、利用一元二次方程根与系数的关系解决

问题时应注意：

（1）二次项系数a0

（2）根的判别式b24ac0

七、布置作业

第35页练习第2，3题。

八、教学反思

1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；

2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.部分学生容易忽略

最关键的条件b24ac0，应加强练习与巩固。