测试名师课堂实录

神奇的几何变换之旋转变换

——巧用旋转

轻松解题

南昌市青山湖区豫东学校 王小铭

电话:13870957850 邮箱:592081938@qq.com

内容提要：

2017年11月17日，本人参加了南昌市青山湖区组织的“青藤杯”数学教学竞赛。竞赛规则要求：在知道参赛课题的24小时内编写教案、课件，并上一堂公开展示课，参赛题目是：“神奇的几何变换之旋转变换”。这节课的思路是：复习旋转的定义、性质和旋转的三要素，通过对旋转的性质的运用，发现运用旋转的方法能巧妙的解决几何问题，难度明显降低。本节课的设计目标就是由学生在老师的引导和启发下，通过对比不同解题方法，发现旋转的妙用，找到用旋转解题的方法，难点是用旋转一个图形作为辅助线的思想方法，发现用旋转的方法解决几何问题的独到之处，培养学生多视角，多手段，多技能的处理问题能力。本文是参赛的教案，另有课件及教学录像。

正文：

教学目的：1、通过生活事例，使学生初步了解图形的旋转变换，掌握旋转的定义，旋转的性质，旋转的三要素。

2、发现用旋转的方法解决几何问题的独到之处，培养学生多视角，多手段，多技能的处理问题能力。

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3、从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识

教学重点：理解图形旋转变换的含义，运用旋转的方法解决问题，开拓思路。

教学难点：探索图形旋转的特征和性质，并运用旋转的性质解决几何问题。

教学过程：

一、给出视频：电视记录片《厉害了我的国》中“大桥建设中运用旋转合拢对接两个桥面”。由于架设的桥梁在重要的交通枢纽的上方，在繁忙的地面交通不能受到影响的情况，在桥墩上先建起桥面，再用旋转的方法将桥面合拢。向学生介绍刚刚闭幕的十九大，看看我国5年来发生的伟大变化，体会中国的伟大复兴的巨大成就，热爱伟大的祖国，热爱当今这个好时代。也由学生感受到旋转的妙用，体会到人的思想是没有止境的，要敢于创造，善于发现新的事物，找到新的办法新的途径，解决新的问题。

二、给出一组由一个简单图形，围绕旋转中心勾画出的图案，由于旋转中心与旋转角度的不同，得到不同的美丽图案。让学生参与猜测旋转后得到的图形，感受到会有无数个不同的图案可供我们选择，发现旋转的神奇，激发同学们的想象力和创造力。

三、给出一个三角形的图案，绕不同的旋转中心，同样的旋转角度，也会出现不同的图案，进一步认识旋转要素的重要性。

四、概念回顾：

（一）把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做图形的 旋转 ．这个点O叫 旋转中心 ，转动的角叫做 旋转角 ．

如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的

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对应点 ．

（二）旋转的性质：1、对应点到旋转中心的距离相等；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3、旋转前、后的图形全等。

(三)旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。

五、应用举例：

例1、

在平面直角坐标系xoy中，△A'B'C'由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为多少?

解：P(1，-1) 此题的教学目的是：加深学生对旋转的性质的理解和记忆，用旋转三要素规范旋转的几何语言，应用对应点到旋转中心的距离相等的性质，会用垂直平分线的方法找出旋转中心。

例2、如图，在等边三角形ABC与MAN中，M,A,B在同一条直线上，连接MC,NB,求证：MC=NB。

教学设计：猜到学生会用证三角形全等的办法来证明MC=NB。为了让同学们感受的解题方法的多样性，引导学生发现△MAC绕点A顺时针旋转600会和△NAB重合，根据旋转的性质，△MAC与△NAB全等，同样可证得MC=NB。让学生惊讶的同时，感受到用旋转的方法带来的便利，对旋转的进一步运用产生好奇，激发探索旋转的奥秘的兴趣。

例3、如图，P是等边三角形ABC内一点，将△APC绕点A顺时针旋转600得

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到△AP’B。若PA=3,PB=4,PC=5。

(1)则∠APB的度数=

。

(2)四边形APBP’的面积=

。

设计思路：题目中直接构造了旋转的三角形，根据旋转的性质，1、对应点到旋转中心的距离相等，得到了AP=AP’,；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，得到∠P’AP=600，得到了△AP’P为等边三角形的条件，连接P’P顺理成章，则有P’P=AP；又根据3、旋转前、后的图形全等，PC=P’B,则有三角形△PP’B三边是一组勾股数，为△P’PB符合勾股定理的逆定理创造了条件，从而得知∠93APB=150，四边形APBP’的面积为6。从启发作辅助线P’P，得到等边40三角形，到应用勾股定理的逆定理，旋转的性质得到充分的运用，也为例4的解题作了铺垫，为解决终极问题例4垫了个台阶，由旋转得来辅助线埋下了伏笔。

例4、如图所示，点P为等边△ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5.

（1）则∠APB=

.

（2）S△APB+ S△BCP=

.

教学思路：题目乍看很难，无从下手，但不难发现，本题与例3的问题相似，图形也相似，求解的问题也相似，由于解例3的经验，想到把△APC绕点A顺时针旋转600得到△AP’B，就成了自然的选择，∠APB=1500不难得到，要动脑筋的是第2问，显然不能直接得到

S△APB+ S△BCP，由于例3中所求的四边的面积是由△APC+△AP

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B得来的，对比后发现：如果把△BPC绕点B逆时针旋转600，得到△AP’B得到的四边形AP’BP就是S△APB+ S△BCP。当然如果第1问就能想到把△BPC绕点B逆时针旋转600得到△AP’B，求出∠APB=1500那就更棒了。改变了旋转中心，旋转方向得到了新的结果，很神奇吧。整个思路清晰，梯度合适，能很好的启发学生了解和掌握用旋转图形作为辅助线，新的方法，新的思想，新的启发，开拓了视野，丰富了奇妙的几何变换--旋转变换。

在课程的最后，我想把“费马点”介绍给同学们，让同学们能用这堂课的启发，用旋转的方式解决“费马点”问题：“费马点”是指位于三角形内到三角形三个顶点距离之和最短的点。请同学们回家上网了解，并用旋转的方法找出“费马点”并证明你找到的点是正确的结论。

小结：你的所思所悟？

谢谢！

2017年11月17日，本人参加了南昌市青山湖区组织的“青藤杯”数学教学竞赛。竞赛规则要求：在11月16日上午8:00出题，知道参赛课题的24小时内编写教案、课件，并上一堂公开展示课，我的参赛时间是11月17日上午第一节课（8:30—9:10）。参赛题目是：“神奇的几何变换之旋转变换”。

在一天的时间要完成这个这个综合类型的课题难度很大，要理清思路，完成教案设计，制作课件，试讲，这考验老师的教学经验，知识积累，资料收集及课件的制作等多方面能力，怎么办？值得庆幸的是，在定教学主线、备课、选题、制作课件时，特别感谢学校同事的无私的大力的帮助，大家出谋划策，谈思路，想办法，三易其稿。最初是把重点放在“费马点”的引导讲解上，后来了解到听课的学生成绩一般，担心太难学生接受不了，就把“费马点”的问题放在了课外，

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由有兴趣的学生去了解学习。后来想加入旋转中常见的类型题目，担心题目没有创新，不能吸引学生兴趣，不能得到评委的欢心。最后定位在“神奇的旋转变换”强调神奇的特征。先让学生们找旋转中心----例1，目的是给学生补补课，加深旋转的性质的认识和理解，打下基础。再通过用常用的三角形全等的证明方法与旋转解题的手段对比，看到旋转解题的妙用----如例2。这堂课的终极目标是学生学会发现用旋转图形的方法作几何辅助线；直接上例4学生可能接收不了，发现不到用旋转图形作为辅助线，于是就对例4深入挖掘，变形出例3，由熟悉的几何图形发现解题思路，为解决更有难度的问题搭个梯子。因为有了合理的教学设计，不断递进的有梯度的逻辑思维，最终整堂课学习内容的难度没有下降。

教学过程中，数学逻辑层次递进，环环相扣，问题难度不断攀升，学生们兴趣浓厚，积极参与，不断挑战自己，发现新方法，形成新思想成了整堂课的亮点，出色的完成了预设的任务，课堂教学也取得了很好的效果。受到学生好评的同时，也得到了专家评委的肯定。

这是一次有益的尝试，短时间内完成一堂高质量的公开课对我是一次挑战，能够出色的完成任务，离不开我校老师的鼎力支持和帮助，感谢老师们！感谢青山湖区教体局数学教研室给了宝贵的机会！

2017-11-20

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