*8.4 三元一次方程组解法举例名师课堂实录

8.4

三元一次方程组的解法

学习目标：

1.理解三元一次方程组的含义. 2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组. 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路. 预习导学：

自学指导：阅读教材第103至105页，回答下列问题：

自学反馈

xyz12，①解方程组x2y5z22，②

x4y.③问题：(1)你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗？

(2)你能解出上面的二元一次方程组吗? (3)如何求方程组中第三个未知数的值？

(4)总结解三元一次方程组的基本思路. (学生通过观察方程组特点，结合上面问题独立思考后写出消元方案，然后分组交流、互相讨论后归纳出三元一次方程组的解法步骤) 4yyz12，解法一：把方程③分别代入①②，得

4y2y5z22.y2,解这个方程组,得

z2.把y=2，z=2代入③，得x=8. x8,因此,三元一次方程组的解为y2,

z2.解法二:①×5-②,得4x+3y=38，④

x4y,③与④组成方程组,得

4x3y38.x8,解这个方程组,得

y2.把x=8,y=2代入①,得z=2.

x8,因此，三元一次方程组的解为y2,

z2.活动1 探究新知

出示引入问题：小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张. 1.题目中有几个未知数，你如何去设？

2.根据题意你能找到等量关系吗？

3.根据等量关系你能列出方程组吗？

请大家分组讨论上述问题.(教师对学生进行巡回指导) 学生成果展示：

1.设1元，2元，5元各x张，y张，z张.(共三个未知数) 2.三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍. xyz12,①3.上述三种条件都要满足，因此可得方程组x2y5z22,②

x4y.③师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

(学生小组交流，探索如何消元) 4yyz12,可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元一次方程组了：即4y2y5z22,5yz12,

6y5z22.解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x. x8,解得y2,

z2.教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.

即活动2 例题解析

3x4z7,①②

例1 解三元一次方程组2x3yz9,?5x9y7z8.③

(让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生演板后比较) 解：②×3+③，得11x+10z=35.④

x5,3x4z7,①与④组成方程组解得

z2.11x10z35.1把x=5，z=-2代入②，得y=. 3x5,1因此，三元一次方程组的解为y,

3z2.此方程组的特点是①中不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理.反之用代入法运算较繁琐. 例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值. (师生一起分析，列出方程组后交由学生求解) abc0,①解：由题意，得三元一次方程组4a2bc3,②

25a5bc60.③②-①，得a+b=1，④

③-①，得4a+b=10.⑤

ab1,④与⑤组成二元一次方程组

4ab10.a3,解得

b2把a=3，b=-2代入①，得c=-5. a3,因此b2,

c5.活动3 课堂小结