一元一次不等式与一次函数图象的关系第二课时教学实录

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一元一次不等式与一次函数

第一课时

整体设计

学情分析

认知基础：本节课是在学生学习了一元一次不等式后，重新认识已经学习过的一些数学概念，即通过讨论一次函数与一元一次不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的不等式的认识，构建和发展相互联系的知识体系．它不是简单的回顾复习，而是居高临下地进行动态分析．

活动经验基础：八年级学生的思维已逐步从直观的形象思维为主向抽象的逻辑思维过渡，而且具备一定的信息收集的能力．通过前面的学习学生已初步掌握数形结合的数学思想，能结合实际问题情境观察、分析图象得出有用的信息，例如：一次函数图象的性质及应用，在数轴上表示不等式的解集等．

教学目标

1．会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，进一步理解函数概念，并从中体会一元一次不等式与一次函数的内在联系；

2．通过具体问题了解一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，并能解决简单的实际问题．

3．通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识，体会用函数图象解决不等数量关系问题的意义，发展函数思想，在“一题多解”的学习中，感受学习的乐趣．

教学重难点

教学重点：了解一元一次不等式与一次函数之间的关系．

教学难点：用一次函数图象解一元一次不等式．

教学方法

本节课主要采用引导探究法．由于任何一个一元一次不等式都能写成ax＋b>0(或<0)的形式，而此式的左边与一次函数y＝ax＋b的右边一致，所以从变化与对应的观点考虑问题，解一元一次不等式也可以归结为两种认识：(1)从函数值的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；(2)从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．教学过程中，主要从以上两个角度探讨一元一次不等式与一次函数的关系．

教学过程

一、创设情境、引入新课

问题1：指出函数y＝3x－6的自变量与因变量，并作出其图象，用图象法求出当x取何值时，(1)3x－6＞0

(2)3x－6＜0 问题2：用直接解不等式的方法求上题中的有两个不等式的解集，并比较用两种方法得到的结果相同吗？

讨论结果：略．

教学说明

通过问题1使学生回忆并进一步明确一次函数的定义、自变量与因变量、图象的作法与性质．然后引导学生利用一次函数的图象求出两个不等式的解集，部分学生可能感觉会有困难，此时教师可引导学生先在函数图象上找出使3x－6＝0的点，再确定不等式的解集．问题2直接计算求出不等式的解集后，可以看出两种方法的结果相同，让学生初步感知一次函数与不等式的关系，引入新课．

二、讲授新课

1．利用函数图象求不等式的解集

设计说明

通过利用函数图象解不等式，使学生更加深入的体会一次函数与一元一次不等式的联系，进一步渗透数形结合思想，使学生从整体的角度把握数学知识之间的联系．

问题1：作出函数y＝2x－5的图象，观察图象回答下列问题：

(1)x取何值时，2x－5＝0? (2)x取哪些值时，2x－5＞0? (3)x取哪些值时，2x－5＜0? (4)x取哪些值时，2x－5＞3? 解：如图1所示．

(1)当x＝2.5时，2x－5＝0；

(2)当x>2.5时，2x－5>0；

(3)当x<2.5时，2x－5<0；

(4)当x>4时，2x－5>3. 教学说明

本题可以直接解不等式求解，但这里意图是让学生通过直接观察图象得到．引导学生体会既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者互相渗透，互相作用．学生可以用不同方法解答，但应引导学生体会用图象求解的方法，这也是本节课的难点．利用函数图象解不等式时首先应找到关键点，即使不等号左右两边相等的x、y值所对应的函数图象上的点，再根据函数的增减性确定范围．由本题可得出：在一次函数y＝2x－5中，当y＝0时，有方程2x－5＝0；当y＞0时，有不等式2x－5＞0；当y＜0时，有不等式2x－5＜0.由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数大于(或小于)0时即为不等式．

2．在实际问题中体会函数、方程、不等式的联系

设计说明

函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用．

问题2：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

(1)何时弟弟跑在哥哥前面？

(2)何时哥哥跑在弟弟前面？

(3)谁先跑过20 m？谁先跑过100 m? (4)你是怎样求解的？与同伴交流．

讨论结果：略．

教学说明

教学时应鼓励学生从多角度思考解决问题．哥俩谁跑在前，关键是要知道哥哥何时追上弟弟．除观察图象法求解外，学生可以直接列不等式求解；也可以列方程求出哥哥追上弟弟的时间，再说明何时弟弟在前、何时哥哥在前．通过三种方法对本题的解决使学生进一步体会函数、方程、不等式之间的联系．

三、巩固提高，熟练技能

设计说明

通过下面的两个问题帮助学生进一步深入理解函数、方程、不等式之间的关系，使学生在解决实际问题时灵活运用所学知识建立恰当的数学模型．

问题3：用画函数图象的方法解不等式：－2x＋3<3x－7. 问题4：甲有存款600元，乙有存款2 000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元．

(1)列出甲、乙的存款额y1、y2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式，画出函数图象．

(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？

讨论结果：问题3：

解法一：原不等式化为5x－10>0，画出直线y＝5x－10的图象，

可以看出x>2时这条直线上的点在x轴上方，即这时y＝5x－10>0，所以不等式的解集为x>2. 解法二：将原不等式的两边分别看作是两个一次函数，画出直线：y1＝－2x＋3，y2＝3x－7的图象，可以看出它们交点的横坐标为2，当x>2时，对于同一个x，直线y＝－2x

＋3上的点在直线y＝3x－7上相应的点的下方，这时－2x＋3<3x－7，所以不等式的解集为x>2. 问题4：(1)y1＝500x＋600，y2＝200x＋2 000，图象，略；

(2)从第5个月起甲的存款额超过乙的存款额．

教学说明

问题1中由一次函数与一元一次不等式的关系可先将其化为一般形式，再画图求解；也可以将－2x＋3与3x－7看作是两个关于x的一次函数，即y1＝－2x＋3，y2＝3x－7.于是不等式的解集即对应着y1

四、积累与总结

1．在一次函数y＝ax＋b中，当y＝0时，有方程ax＋b＝0；当y＞0时，有不等式ax＋b＞0；当y＜0时，有不等式ax＋b＜0.由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于(或小于)0时，即为不等式．

2．一元一次不等式ax＋b>0(或<0)与一次函数y＝ax＋b有如下关系：

(1)从函数值的角度看，使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围就是不等式的解集；

(2)从函数图象的角度看，直线y＝ax＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合对应着不等式的解集．

五、布置作业

本节习题1.6

1、2题

六、拓展练习

1．作出函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，并观察图象回答下列问题：

(1)x取何值时，2x－4＞0? (2)x取何值时，－2x＋8＞0? (3)x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？

(4)求出函数y1＝2x－4，y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积．

2．如图2，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动过程中路程与时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题：

(1)如果甲、乙二人均沿同一方向在同一直线上行进，出发时乙在甲前面多少米处？

(2)如果甲、乙二人所行驶路程记为s甲，s乙，试写出s甲与t及s乙与t的关系式；

(3)在什么时间段内甲走在乙的前面？在什么时间段内甲走在乙的后面？在什么时间甲、乙二人相遇？

图2

图3 1．分析：要使2x－4＞0成立，就是y1＝2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x＋8＞0成立的x，即为函数y2＝－2x＋8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．

解：图象如图3. (1)当x＞2时，2x－4＞0；(2)当x＜4时，－2x＋8＞0；(3)当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立；(4)由2x－4＝0，得x＝2；

y＝2x－4，由－2x＋8＝0，得x＝4，所以AB＝4－2＝2，由

y＝－2x＋8，

1得交点C(3,2)，所以三角形ABC中AB边上的高为2.所以S＝×2×2＝2. 2132．(1)出发时乙在甲前面12米处；(2)s甲＝8t，s乙＝t＋12；(3)8秒以后甲走在乙的前2面，8秒之前甲走在乙的后面，8秒时甲、乙二人相遇．

评价与反思

1．不等式与方程、函数一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型．函数能够刻画事物之间对应变化的过程，方程能够刻画某个变化过程的一瞬间，而不等式则刻画变化过程中同类变量之间的一个普遍现象．本节课意在引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想．要实现以上目标比较困难，原因是学生的抽象思维能力还比较低，在教学中如何化抽象为具体，真正实现教学目标呢？教学中通过有针对性的问题设计，鼓励学生在解决同一问题是分别利用函数、方程、不等式三种模型来解决，使学生通过具体事例感受它们之间的联系．同时教师的引导性语言要到位，在学生得出问题的答案后，通过类比、讨论、交流等方式反思三种不同方法之间的联系．

2．数形结合思想是非常重要的数学思想方法，在今后的学习中有很重要的作用．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来．对初中阶段的学生来说将方程或不等式与函数图象结合起来抽象性较强，教学中应通过具体的事例教会学生数形结合分析问题的方法，反复让学生实践，遇有困难让学生充分讨论、发表意见，找准学生的问题所在有针对性地加以指导．