直角三角形全等的判定教案及板书设计

北师大版八年级下期 第一章 三角形的证明

第2节 直角三角形（二）

1.2.2直角三角形全等的判定

一、学情分析

学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求. 二、教学任务分析

本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质.在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一. 三、教学目标

1．已知斜边和直角边会作直角三角形; 2．探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”( HL)判定方法，能熟练运用“HL”解决直角三角形全等的判定问题．( 不能仅限于“HL”，已学过的判定方法 1 ～ 4 也不能回避．) 3．经历观察、思考、操作、猜想、验证等探究过程，提高分析、作图、归纳、概括、表达等能力和逻辑推理能力；

通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．

4．经历发现问题、提出问题、解决问题的科学探索过程，体会由一般到特殊的思维方法．

四、教学重、难点

重点: 发现问题、提出问题的方法，掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法：HL．

难点: 发现判定直角三角形全等的“HL”方法，并运用斜边、直角边定理解决问题．

五、教学过程设计

（一）、复习巩固，引出课题

问题1.到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？

问题2.两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗? 问题3.如果其中一组等边所对的角是直角呢? 【设计意图】教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，通过引导，帮助学生回忆已学知识，回顾探究的方法，使学生明确本节课要探究的问题，引入课题：直角三角形全等的判定．

（二）、动手操作，实验探究

问题1.请画Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝3cm，AC＝2cm.将你画的直角三角形剪下来与其他同学画的直角三角形比较，看看是否完全重合.所画的直角三角形都全等吗? 【设计意图】通过学生动手画图，让学生明确已知直角三角形的斜边及一直角边怎样画出三角形．

通过学生展示作品，以及同学之间观察、对比，让学生确信结论的正确性．

问题2.若保持∠C＝90°，改变AB，AC的长度(AB＞AC)，是否有同样的结论呢? 【设计意图】通过观察

《几何画板》

动态演示的过程，在利用

《几何画板》

的度量功能，给学生以直观的印象，学生总结得到“斜边、直角边”的判定方法，培养学生发现问题的能力. （三）、推理证明，验证结论

已知：如图，在△ABC与△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC中，

∵∠C=90°，

1

∴BCABAC（勾股定理）. 同理：EFDEDF. ∵AB=DE，AC=DF，

∴BC=EF. 在△ABC和△DEF中，

222222ABDE,∵ACDF,

BCEF,∴△ABC≌△DEF（SSS）. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

（可以简写成

“斜边、直角边”或

“HL”）．

用符号语言表达为：

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

ABDE,

ACDF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.

【设计意图】证明学生获得“斜边、直角边”的判定方法, 培养学生推理的能力.教师给出符号语言的规范格式，强调“斜边、直角边定理”的适用条件．

（四）、典例分析，巩固新知

例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD．求证：BC=AD．

证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C=∠D=90°．

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

ABBA,

ACBD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．

∴BC=AD（全等三角形对应边相等）．

【设计意图】通过此例题的学习，让学生在尝试运用“斜边、直角边定理”判定两个三角形全等的过程中，进一步加深对三个条件的理解．同时，训练学生的表达能力，使学生能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据．

（五）、小试牛刀，应用新知

1.判断下列命题的真假，并说明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；

（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；

（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；

（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；

（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等．

解：（1）正确，根据AAS判定两三角形全等；

2

（2）正确，根据ASA判定两三角形全等；

（3）错误，要判定两个三角形全等至少要有一组边相等； （4）正确，根据SAS判定两三角形全等； （5）正确，根据HL判定两三角形全等．

【设计意图】本题继续巩固命题的同时还主要考查直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时引导学生抓住“直角”这个隐含的已知条件．

2.已知，如图AB=CD，E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°，AE=CF，求证：AB∥DC．

证明：∵AE=CF，

∴AF=CE. ∵∠AFB=∠CED=90°，

在Rt△CED和Rt△AFB中，

∵CDAB,

CEAF,∴Rt△CED≌Rt△AFB（HL）. ∴∠C=∠A. ∴AB∥CD．

【设计意图】通过此题的练习，让学生在尝试运用“斜边、直角边定理”判定两个三角形全等的过程中，进一步加深对斜边、直角边定理的理解．同时，训练学生的表达能力，使学生能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据．从而加深学生对“相等”、“全等”的认识．

3.如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.

解：BO=CO. 理由如下：

由题意，得∠AOB=∠AOC=90°，

在Rt△ABO和Rt△ACO中，

∵

ABAC,

AOAO,∴Rt△AB)≌Rt△ACO(HL). ∴BO=CO. 【设计意图】通过实际问题，活跃课堂气氛，缓解学生思维疲劳，激发学生学习兴趣，在巩固判定方法的同时，体会数学知识在日常生活中的应用．

（六）、归纳小结，反思提高

3

1、今天我们学习哪种方法判定两个直角三角形全等？

2、判定直角三角形全等的条件有哪些？

3、本节课你还有哪些收获？

4、本节课你还有什么困惑吗？

【设计意图】通过师生共同思考、回顾、梳理直角三角形全等的判定方法，加深学生对各种判定方法的理解，明确三角形全等条件的探索过程，让学生体会从“边”、“角”出发，在不同分类的情况下，满足三角形全等的条件．还要以问题带动总结, 帮助学生整理思路, 引导学生回放错题, 从错因分析中积累运用规则的经验和细节. （七）、拓展迁移，综合应用

如图，已知A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．

求证：△ACF≌△BDE．

证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF（已知），

∴∠ACE=∠BDF=90°（垂直的定义）. 在Rt△ACE和Rt△BDF中，

AEBF,

ACBD,∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）. ∴∠A=∠B（全等三角形的对应角相等）. ∵AE=BF（已知），

∴AE-EF=BF-EF（等式性质）. 即AF=BE. 在△ACF和△BDE中，

AFBE,AB,

ACBD,∴△ACF≌△BDE（SAS）．

【设计意图】巩固学生所学的判定三角形全等的方法及规范的书写格式，培养学生利用三角形全等找到证明全等所需要的条件，培养学生的推理能力．

（八）、布置作业，及时反馈

必做题：A组. 选做题：B组．

【设计意图】设计两组作业，目的是尊重学生的个体差异，满足不同层次学生的学习需要，使不同的学生在数学中得到不同的发展. 选做题的安排为综合应用的学习做好铺垫．

六、设计思路，反思提高

根据本节课内容的特点，为了突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以教师启发、引导，学生自主探究相结合，并辅以多媒体演示的教学组织形式．另外，本节课还利用《几何画板》

软件制作课件，对课堂教学的顺利实施具有很好的辅助作用．对应数学题的选题问题，我们都知道数学题可谓是千变万化，教师所选择的例、习题是否恰当，直接关系到学生对知识的掌握程度．对学生自身思维的培养，智力的开发都非常重要，所以在选择题目时，要充分考虑其代表性与思维含量，以及它所承载的数学思想与方法，要从学生实际出发，结合教材，整合与拓展教材．

真正做到“以学定教”．

4

课后作业：

A组.（必做题）

1.如图，下列各组条件中，不能判定△ABC≌△ABD的是（

）

A．AC=AD，BC=BD B．∠C=∠D，∠BAC=∠BAD C．AC=AD，∠ABC=∠ABD D．AC=AD，∠C=∠D=90° 解：选项A，根据“SSS”可判定三角形全等；选项B，根据“AAS”可判定三角形全等；

选项C，因为已知两边及一边的对角不能判断三角形全等，∴“SSA”不能判定三角形全等；选项D，根据“HL”可判定三角形全等．

故选：C．

2.如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件________或_________，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件________或_________．

解：添加∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC，

在△ABC和△ABD中，

∵∠C＝∠D，

∠CAB＝∠DAB(∠CBA＝∠DBA) ，

AB＝AB，

∴△ABC≌△ABD（AAS）。

∵∠C=∠D=90°，

∴△ABC和△ABD为直角三角形. 在△ABC和△ABD中，

∵AB＝AB ，

AD＝AC(BD＝BC) ，

∴△ABC≌△ABD（HL）．

故答案为：∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC．

3.已知：如图∠B=∠E=90°，AC=DF，FB=EC，求证：AB=DE．

证明：∵FB=EC，

∴BF+FC=FC+CE，

∴BC=EF，

在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∵ACDF,

BCEF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）. ∴AB=DE．

4.如图，AB⊥AC，CD⊥AC，AD=BC，问AB与CD有什么关系？为什么？

5

解：结论：AB=CD，AB∥CD．

理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴AB∥DC 在Rt△ACB和Rt△CAD中，

∵ADBC,

ACCA,∴Rt△ACB≌Rt△CAD（HL）. ∴AB=CD. ∴AB=CD，AB∥CD．

5.已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点F，求证：BE=CD．

证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠CEA=∠BDA=90°，

在△ACE和△ABD中

AA,∵CAEBDA,

ACAB,∴△ACE≌△ABD（AAS）. ∴∠C=∠B，AE=AD. ∴AB-AE=AC-AD. ∴BE=CD．

6.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？

解：∠ABC+∠DFE=90°，理由如下：

由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC=EF，AC=DF．

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∵BCEF,

ACDF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）. ∴∠ABC=∠DEF. ∵∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠ABC+∠DFE=90°．

B组（选做题）

1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且AD=CE．

（1）若BC在DE的同侧（如图①）求证：BA⊥AC．

（2）若BC在DE的两侧（如图②），问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理

6

由．

证明：∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，

∴∠ADB=∠CEA=90°，

在Rt△ADB和Rt△CEA中，

∵

ABCA,

ADCE,∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）. ∴∠DAB=∠ACE．

又∵∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°. ∴∠BAC=90°. 即AB⊥AC. （2）AB⊥AC. 证明如下：∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，

∴∠ADB=∠CEA=90°. 在Rt△ADB和Rt△CEA中，

ABCA,∵

ADCE,∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）. ∴∠DAB=∠ACE．

又∵∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°. ∴∠BAC=90°. 即AB⊥AC．

2.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC．你能说明BE与DF相等吗？

证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2. ∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠F=∠CEA. 在△ACF和△ACE中，

12,∵FAEC,

ACAC,∴△ACF≌△ACE（AAS）. ∴CF=CE（全等三角形对应边相等）. ∵∠CFD=∠CEB=90°，

在Rt△CDF和Rt△CBE中，

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∵CDCB,

CFCE,∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）. ∴BE=DF.

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