直角三角形的性质与判定教学设计

第一章《勾股定理拓展提高》教学设计

长安三中 姜桢

一．概述

《直角三角形》是北师大版八年级上册第一章，本节是提高内容。本节课主要通过复习勾股定理，学习掌握勾股定理逆定理。了解互逆命题和互逆定理。进一步应用它们解决实际问题。

二．教学目标分析

知识与技能

1、要求学生掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2、了解互逆命题和互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。

3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力，培养思维能力。

过程与方法

1、通过勾股定理及逆定理的证明，进一步体验几何证明的基本要求和范式，感受探究几何事实的过程对证明思路的启发与影响。

2、通过“蚂蚁爬行问题”和“盒子里放木棒问题”的解决，感受我们身边的数学。

3、结合具体实例认识逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理。明确“原命题成立其逆命题不一定成立。”

4、通过课后练习，进一步发展学生的思维能力，培养学生解决问题的能力。

情感态度与价值观

1、培养学生发现问题、主动探究的能力和交流合作意识。

2、培养学生细致、认真的学习习惯。

3、通过学习让学生对前期学习中用实验、度量获得的结论进一步肯定，而且也能更好的让学生了解知识的连贯性，进一步感受公理化体系。

4、通过实际问题的解决，让学生感受数学知识在生活中的应用价值。

三．教学设想

重点：勾股定理及逆定理的应用，

互逆命题和互逆定理。

难点：勾股定理逆定理的证明，空间观念的形成。

四．学习者特征分析

1、学习者是长安三中八年级4班学生。经过两年学习，班上学生思维活跃，对数学学习兴趣浓厚，接受知识能力较快。

2、学生已具备勾股定理的基本知识。

3、学生已具备初步的探索能力、合作交流意识。

4、学生积极上进，具有一定的自学能力。

五．教学策略选择与设计

学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官，做到＂细观察、多动手、勤思考＂。通过观察、猜想、探究、推理、模仿、体验等方法完成本节知识的学习。本节课采用“问题导学，自主探索” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法、

练习法等，让学生经历发现、探索、证明的全过程。使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。

六．教学资源与工具设计

人力资源：教师、学生、多媒体教室管理员

非人力资源：教学材料：

1. 教师自制多媒体课件2. 多媒体教室

3. 学生自备学习工具。

教学模式：

基于“学”的教学模式

七．教学过程

（一）谈话导入

1 你知道直角三角形有怎样的特征？还记得勾股定理吗？它是怎么证明的？

2 如果要判别一个直角三角形，你有什么办法？

（二）新授

1、勾股定理的逆命题：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

想一想

如何证明这个命题？其步骤有哪些？（先画草图，写已知、求证

，再证明）



已知:如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.



求证:△ABC是直角三角形. C′

B C B′

A′

A



分析：目前，我们判别直角三角形的方法只有用定义，从已知条件来看离定义的要求太远，因此，我们不妨构造一个直角三角形，进而再证明已知的三角形与所构造的三角形全等。



证明:作Rt △A′B′C′使∠C′

=900,A′C′=AC, B′C′=BC(如图),则

A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理). ∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,

B′C′=BC(作图), ∴

AB2=A′B′2(等式性质).

∵AB﹥0

A′B﹥0′

∴

AB=A′B′(等式性质). ∴

△ABC≌

△A′B′C′(SSS). ∴

∠A=∠A′＝

900(全等三角形的对应边). ∴

△ABC是直角三角形(直角三角形的定义). （引导学生分析，获得证题思路，使学生领会构造思想，得出结论。）

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（三种语言的互译）（课件展示）

2、议一议：

观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，从结构上认识互逆命题，进一步得出“互逆定理”的概念。）

3、关于互逆命题和互逆定理。

（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

（引导学生理解掌握互逆命题的定义。）

明确：一个定理一定有逆命题，但不一定有逆定理。

4、练习：

（1）

写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。

（2）

你还能举出一些其它的例子吗？

5、勾股定理及逆定理的应用

例1

回顾蚂蚁在圆柱体表面爬行问题

B 有一个圆柱，它的高等于12㎝，底面半径等于3㎝。在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想到圆柱上底面与A相对的B点觅食，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

数学思想方法：“化曲面为平面”

A

蚂蚁在正四棱柱表面爬行问题

例2

1 1 如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从1 正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它1 需要爬行的最短路径是多少？

数学思想方法：展开与折叠，转化到同一平面上，用两点之间线段最短寻找最短路径。

拓展：(1)

蚂蚁在长方体表面爬行最短路径问题探究

如果把上题中的正四棱柱换成一个长、宽、高分别为４㎝、

３㎝、

８㎝的长方体盒子，其余条件不变，你知道蚂蚁爬行的最短路径是多少吗? DABCDC A B

(2) 长方体盒子里放最长木棒问题探究

如果欲把一根长为10㎝的木棒放入这个长、宽、高分别为４㎝、３㎝、８㎝的长方体盒子，能放下吗？

数学思想方法：空间里找平面

议一议

你能说出蚂蚁从长方体一个顶点沿表面爬行到相对顶点的最短路径问题与长方体盒子放木棒问题的联系吗？

（三）

随堂练习：Ｐ２１知识与技能

第１题

（四）

课堂小结

谈一谈你的收获：

１、知识方面

２、数学方法及数学思想方面

３、交流探究中你的同伴表现怎样？你要学习他们的哪些优点？

（五）

作业：Ｐ２１――Ｐ２２

第２．３．４题

教学流程图

开始，谈话导入

课件1--6 验证勾股定理的方法

学生回忆

课件7 勾股定理的逆命题

学生探索证明方法

否

理解勾股定理逆命题的证明方法

是

认识互逆命题和互逆定理

课件8--9 勾股定理及逆定理的应用

课件10--15 设置问题

拓展问题

回答问题，归类认识

课件１0－15

课件16--17 试金石

颗粒归仓挑战自我

老师应帮助学生及时小结知识方面：

1、

关于直角三角形的有关性质及判别方法

2

、及时总结规律：若长方体的长.宽.高为a.b.c且a﹤b﹤C则蚂蚁沿侧面爬行到相对顶点的最短路径为√(a+b)2+c2此长方体内可放的木棒最长为√a2+b2+c2

3、数学的转化，化归思想：化曲面为平面，化立体为平面，化运动为静止，化未知为已知，化复杂为简单……

教学反思

直角三角形的勾股定理和逆定理在北师大版八上教材中学生已通过测量，数格子，图形割补等方法进行验证，并对所得结论进行过简单应用。本节再次讲到是想让学生对实验得到的结论进一步肯定，同时也感受公理化体系。因此，在教学中对勾股定理通过拼图从整体、部分两个角度描述面积得以再次验证，使学生不再怀疑；而对勾股定理逆命题的证明较为抽象，不要求学生掌握，只做了解，故在教学中重点引导学生理解证明的合理性。

通过比较两个定理的条件和结论，使学生认识互逆命题和互逆定理。了解数学知识的连贯性，同时借此机会对以前所学此类内容进行梳理。

《数学课程标准》中指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。” 直角三角形的勾股定理和逆定理在生活中有广泛的用途，为了让学生感受身边的数学，体现有价值的数学。本节我设计了“蚂蚁爬行”问题，在圆柱侧面、在正四棱柱侧面、在长方体侧面、进而再探索进入长方体内部的“盒子里放木棒”问题。系列问题的解决都要借助勾股定理，同时培养和发展学生的空间观念，使学生感受数学中的化归思想：化曲面为平面，化立体为平面，化运动为静止，化未知为已知，化复杂为简单……

本课教学过程中我为学生创设了从事数学学习活动和交流的空间。通过观察、猜想、探究、推理、模仿、体验等方法完成本节知识的学习，学生讨论积极热烈。人常说：听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩。使他们在合作交流中增长知识，提高能力。