数学活动 教学教案设计

课题

二元一次方程（组）的几何意义

教师

李海丽

班级

初一(2)班

本节“数学活动”课，是人教版《义务教育教科书》数学七年级下册第八章《二元一次方程组》的一节活动课.他们在七年级下册第七章已经教

材

分

析

学***面直角坐标系的知识，知道有序实数对与平面直角坐标系里的点一一对应，利用这个知识去解决如何在一个平面里确定和区别点的位置，初步接触了数形结合的思想.但它还不能解决一些把代数转化成几何的问题.而这节课通过把二元一次方程在平面直角坐标系转化成一条直线，让学生认识二元一次方程的几何意义，具体接触到了数形结合的思想，为以后学习函数奠定了基础. 以《新课标》为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合七年级学生活泼好动、思维灵敏，但思考问题不全面的心教

理特点和已有的认知水平开展教学.主要采用的是启发式教学法.让学生学

参与教学过程，注重培养学生的建构习惯，提高学生的数学素质.采用了理

“问题情境—探索新知—解读探究、应用与拓展”的教学模式，使学生经念

历二元一次方程转换成直线的探索与应用的过程，从而更好地理解数形结合的思想，掌握必要的基础知识和基本技能. 知识技能: 1、在平面直角坐标系中重新认识二元一次方程和二元一次方程组；

2、在给定的平面直角坐标系中画出二元一次方程和二元一次方程组的图象；

3、以坐标系为工具解决简单的几何问题. 教

学

目

标

数学思考: 1、体会数形结合的思想；

2、体会数学知识可以从不同的角度分析，从不同的层次去理解. 3、体会由特殊到一般的认识方法．

解决问题: 通过学习，使学生在已有二元一次方程（组）知识的基础上，从几何图形的角度得到进一步的理解和升华，为后续的函数学习奠定基础．

情感态度:

1

通过动手画图，培养学生耐心细致的良好学习作风；通过经历的学习活动，激发学习积极性和求知欲望.

学

情

分

析

重点

本班学生基础较好，有一定的学习兴趣。同时从年龄阶段来看七年级学生朝气蓬勃、好动对于新的事物和新的知识充满好奇他们的表现欲相当强，如果采用形象生动形式多样的教学方法和学生广泛的积极主动参与的学习方式会大大激发学生学习的热情。 理解二元一次方程和方程组的几何表示

1、把二元一次方程方程转化成图形；

难点

2、能从图形的角度解释二元一次方程组解的情况：同一平面中两条直线相交、平行和重合分别对应二元一次方程组有唯一解、无解和无数解．

课前准备

教具

课件、几何画板

教学流程大致安排

师生互动流程图

【活动1】

在平面直角坐标系中，标出以方程2x+y=10的解为坐标的点，并观察特点

【探究1】

直线上点的坐标与方程的解的对应关系

【活动2】 在同一平面直角坐标系中，画出y=3x的图象

【探究2】 在坐标系中探究二元一次方程组的解

【活动3】练习

【活动4】

小结、作业

教学过程设计：

问题情境与师生活动

设计意图

活动内容和目的

由数到形的过程体会二元一次方程的几何意义. 学具

三角板、直尺

所需预备知识

平面直角坐标系、二元一次方程（组）等相关知识

明确二元一次方程的图象是一条直线．

进一步体会数形结合的思想.

认清二元一次方程组的解的几何意义，为进一步研究函数问题做铺垫. 利用二元一次方程组的解的几何意义，研究数学问题. 归纳总结

2

已知二元一次方程2x+y=10

（1）请二元一次方程2x+y=10是否有解？解是否唯一？

（2）请你说出二元一次方程2x+y=10的几个解。

体会二元一请学生回答，注意未知数的取值范围，教师可适当加以提示．

次方程的解与点的坐标（3）二元一次方程2x+y=2的一个解能用一个点表示出来吗？

的一一对应（4）在同一平面直角坐标系中，请你标出以方程2x+y=10的解为坐标的点．

的关系.

学生动手画，教师巡视，然后在几何画板上演示．

（5）观察这些点的特点，你有什么发现？

发现：这些点都在同一条直线上．

学生产生疑惑，教师提出疑问，请学生探究：

【探究1】

（1）满足方程2x+y=10的所有的解, 所对应的点(x,y)都在这条直线上

抛出问题，明吗？

确研究对象；请学生在坐标系中画图找点，观察，老师在几何画板上演示．

同时激发学（2）在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程2x+y=10的解吗？

生的研究欲望. 老师在几何画板上演示．

结论：①以方程的解为坐标的点都在同一条直线上．

②这条直线上任意一点的坐标都是这个方程的解．

定义：以方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．方程2x+y=10

的图象是一条直线．

通过此环节，教师提问：根据之前的操作，总结如何画二元一次方程的图象，需要选再次体会一元二次方程取几个解来描出对应的点？

的解与点的让学生归纳总结，利用“两点确定一条直线”的定理，只要描出两个点坐标之间的对应关系，一就可以了。

元二次方程的图象是一那么取哪两个点会比较合适? 条直线. 原因一是数值便于计算;二是与坐标轴的交点是关键点,可以看出图象

整体的走势以及所在象限等. 从图形角度【活动1】

3

在同一平面直角坐标系中，请你作出方程2x+y=6的图象．

【活动2】 在同一坐标系中画出二元一次方程y=3x的图象．

学生动手画，然后教师几何画板演示

教师提出疑问：是否所有的二元一次方程的图象都是一条直线．（几何画板演示）

【探究2】

你知道如何在坐标系中表示二元一次方程组2xy10的解吗？

y3x于是解二元一次方程组的方法有消元法和图象法. 图象法相对于消元法比较直观. 你能在坐标系中读出二元一次方程组2xy6的解吗？

y3x理解二元一次方程组是求两个二元一次方程的公共解，也就是两条直线的交点的横纵坐标.

体会图象法解二元一次方程组的优势和劣势.

当二元一次方程组的解为分数时,有时利用图象法会比较困难.但是为什么要学习图像法呢?一是数形结合的思想是我们研究数学问题的重要思想方法;二是从不同的角度来认识对事物，可以养成全面分析事物的习惯.

4

【活动3】练习

1、如图，已知直线ax+by=c和y=kx的图象交于P点，则根据图象可得，axbyc的解是 ．

关于x、y的二元一次方程组 yykxy=kx-4xP-2

活动3是层层递进的几个问题，锻炼学生思维的延展性和思考问题的全面性，依情况量力进行.

ax+by=x

2、（1）用图象法解方程组

（2）两条直线

ABC的面积．

3、无论m取何实数，二元一次方程组2xy4．

xy12xy4的交点为A，它们与x轴交点分别B、C，求△xy1yx3m 的解

的情况不可y2x3能是（

）

A.都是正数

B.都是负数

C. x为负数，y为正数

D. x为正数，y为负数

【活动4】小结

对基本知识和较高要求分类梳理，进一步明确目标. 作业：

1、分别用消元法和图象法求出下列方程组的解：

，

，

，

．

；

；

思考：（1）二元一次方程组的解有几种情况？

通过解二元一次方程组，我们发现了二元一次方程组的解有三种情况：唯一解、无数解和无解．

（2）二元一次方程组的解会有第四种情况吗？比如：一个二元一次方程组有2个解或3个解等情况吗？为什么？

二元一次方程组的解不会有第四种情况？只有三种情况：唯一解、无数解和无解．因为同一平面内两条直线的位置关系只有相交、重合和平行三种情况．

5

ykxm2、对于k、m的哪些值，方程组有唯一解、无数组解和y(2k1)x4无解？

3、发挥你的想象，你认为从图形的角度如何解释三元一次方程的解以及三元一次方程组的解的情况了？

例如：三元一次方程

的图形在空间直角坐标系中是一个平面.

三元一次方程的图形是一个平面，有唯一解的三元一次方程组是取三个平面相交的部分，其中两个平面相交于一条直线，另一个平面再与其相交，便取得唯一的交点.

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