2.2.4 平面与平面平行的性质PPT配套教学设计内容

【教学目标】

1.知识目标

①使学生理解并掌握直线与平面，平面与平面平行的性质定理

②熟练掌握线面，面面平行的性质，并会应用性质解决问题

2.能力目标：

通过线面与面面平行性质的推动，培养学生的空间想像能力；观察推理能力；通过性质的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

让学生进一步清楚直线与平面的位置关系要转化为直线与直线的位置关系转化为面面的位置关系来解决问题的转化思想与数学素养。

【教法指导】

1.

教学重点：平面与平面平行的性质及其应用。

2.

教学难点：将空间问题转化为平面问题的方法

●教学分析建议

本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成相互统一的，故教学时，可采用引导发现法，采用以思导学的方式，从回顾判定定理出发，把探索面面平行性质定理的问题转移到线与线及线与面位置关系的问题上，然后教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，

注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明，最后通过典例训练使学生体会线与面之间的互化关系，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．

【教学过程】

☆情境引入☆2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，作为东道主的中国国家馆被永久保留，成为上海市的又一标志性建筑．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质．展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉

1. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？2．由以上的探索与发现你能得出怎样的结论？

3．能否对你发现的结论进行证明？[来源学&科&网]

☆探索新知☆

思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢? 探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

两平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？

两平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面内的直线。

由两平面平行的定义，线有何特点？

因为它们无公共点，要么异面，要么平行，

在熟知线面平行、面面平行的定义之后，由面面平行到线面平行再到线线平行这种有条理的思考问题的方法很好。那么，没有公共点的两条直线在什么条件下平行呢？

在同一平面内

把它写成命题形式

平面与平面平行的性质定理：当两个平行平面和第三个平面都相交时，两条交线平行。简言之，“面面平行，则线线平行.”

用符号语言表示性质定理：

//a//ba,b

想一想：这个定理的作用是什么?

命题方向一：对定理的理解与应用

(1)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：

①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交，其中可能出现的情形有(

) A．1种

B．2种

C．3种

D．4种

(2)给出三种说法：

①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；

②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；

③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.

其中正确说法的序号是__________. 例1.

求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等

解： 已知:如图，平面//，线段AB//CD,

A,C,B,D.求证：ABCD证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ,且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD. 因为

α//β,所以

BD//AC.因此,四边形ABDC是平行四边形. 所以

AB=CD. 常用的面面平行的其他几个性质：

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行

命题方向2

⇨平面与平面平行性质定理的应用

例2.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D.若PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.

[解析]

∵AC∩BD＝P，

∴经过直线AC与BD可确定平面PCD. ∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，

PAPB∴AB∥CD，∴＝ACBD，

68－BD即＝BD. 924∴BD＝. 5『规律方法』

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

〔跟踪练习2〕已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G.

求证：AB/BC＝EF/FG.

解析]

连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG. ∵β∥γ，平面ACG∩β＝BH.平面ACG∩γ＝CG，

∴BH∥CG.同理AE∥HF，

ABAHEF∴＝＝

BCHGFG

例3.如图，α∥β，AB，CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，则AC所在的直线与BD所在的直线平行，这个说法正确吗？

警惕错误理解：对平面与平面平行的性质定理理解不正确，忽略“第三个平面”这一条件

如图，α∥β，AB，CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，则AC所在的直线与BD所在的直线平行，这个说法正确吗？

[错解]

这个说法正确．

[错因分析]

忽略了AB，CD可能异面的情况．当AB，CD异面时，AC与BD不平行．

[思路分析]AB，CD共面AC∥BD；AB，CD异面时，AC∥β，但AC与BD不平行．同理BD∥α，但BD与AC不平行．[正解]

这个说法错误

核心数学素养：转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用

例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.

[思路分析] 直接用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B 如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP， ∵MP∥BB1，∴CM/MB1＝CP/PB.

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，

∴CMMB1＝DNNB，∴CP/PB＝DN/NB，∴NP∥CD∥AB ∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B. 又MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B

规律方法：证明线面平行的方法主要有三种：

①应用线面平行的定义；(反证法) ②应用线面平行的判定定理；

③应用面面平行的性质，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”

(2)应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．

☆课堂小结☆

1、两个平面平行具有如下的一些性质：

⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行

⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交

⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等

2、注意线线平行，线面平行，面面平行按如下关系互相转化证明线面平行的方法主要有三种：

•

①应用线面平行的定义；(反证法) •

②应用线面平行的判定定理；

•

③应用面面平行的性质，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”

•

应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转

3、在应用相关定理时要注意辅助线、辅助面的作法，注意空间问题平面化及类比的数学思想。

☆课后作业☆

1.必做题：P60练习 P62 7-8题

2.选做题：P63 3-4题

☆课堂提高☆

1．已知E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F，则四边形EBFD1的形状为（

）．

A．平行四边形

B．梯形 C矩形 D不能确定

答案

A

[来源:]

在线段D1D上取一点M，使得D1M＝AE，所以四边形AMD1E是平行四边形，所以ED1∥AM，且ED1＝AM，又AE＝C1F，所以MF∥CD，且MF＝CD，所以四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF，且AM＝BF，又ED1∥AM，且DE1＝AM，所以ED1∥BF，且ED1＝BF，所以四边形EBFD1为平行四边形．

2.如图，四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝（

）

答案

m∶n

3．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．

4．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．

(1)设M是PC上的一点，

求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

(1)证明

在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，

∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．

又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，

BD⊂面ABCD，

∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．

(2)解

例题3：已知：如下图，四棱锥S-ABCD底面为平行四边形，E、F分别为边AD、SB中点

求证：EF∥平面SDC。

解析：证线面平行，需证线线平行

证明：方法一