习题4.1优质课教学设计

教学设计

一、

教学目标：能用代数方法判定点与圆的位置关系，会用待定系数法求圆的方程，体验求曲线方程的基本方法，概括其基本步骤；

二、

教学重难点：概括求曲线方程的基本步骤；

三、

教学过程：

1.复习引入

圆的定义及方程,学生在学案上填空。

定义

标准方程

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

圆心：(a,b) 半径：r 圆心：－，－，

22

122半径：D＋E－4F

2DE一般方程

2. 典例讲解

【例1】

已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)

求线段AP中点的轨迹方程；

1.

先确定定点和动点，引导学生从几何关系出发，得到了勾股定理等几何性质，利用勾股定理化简得到。

设M为AP的中点，则M（x,y），则OM²+AM²=OA²，代入后化简得到，

（x-1）²+y²=1，板书体现化简过程，同时回顾圆的标准方程，询问圆心和半径。

2.

几何性质进一步代数化，从向量角度，体现垂直关系。

不仅仅可以利用勾股定理得到垂直关系，也可以通过直线或者向量的方式，体现垂直关系。从向量的角度。所以，

3.

纯代数角度

设M（x,y），A（2,0），p（）,M作为AP中点，来用已知点表示未知点。，且，化简，得到（x-1）²+y²=1

即，用上述关系反表示已知点，，，则利用p（

）在圆x2＋y2＝4上，所以（x-1）²+y²=1

(2)

设定点M(－3，4)，以OM，OP为邻边作平行四边形MOPN，求点N的轨迹．

明确轨迹与轨迹方程的定义。利用几何画板，体现轨迹形成的过程。如下图所示，让学生体会这个轨迹的形成过程，打开动点到定点的距离为定长的新思路。注意：其中构成直线而非平行四边形的两点要去掉，所以，这个轨迹是去掉两点的圆。

(3)

若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中, |PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ, 所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|², 所以x²+y²+(x-1) ²+(y-1) ²=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

事实上，在这里也是运用到了几何性质来体现定点代数关系。如下图所示，在几何画板上体现PQ中点的运动过程，让学生能有点形成的轨迹有感性的认识。

【针对训练】

1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 答案：A 解析：

(

) 设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得

又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4, 即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1. 3.随堂练习

①.已知OP＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R，O为坐标原点，向量OQ满足OP＋OQ＝0，则动点Q的轨迹方程是________．

答案：(x+2)²+(y+2)²=4 ②(2015·郑州模拟)已知动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(

) A．x＋y＝32 C．(x－1)＋y＝16 答案：B 2222

B．x＋y＝16

D．x＋(y－1)＝16 2222

4.课后作业：

已知过原点的动直线与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

几何画板让学生先感受这个中点轨迹的形成过程，从而让学生有感性的认识。

5.课堂小结：

【归纳小结】

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；

(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；

(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

【规律技巧】

注意定义域的范围．