习题1.1名师教学设计

立体几何

一、直观图，三视图、表面积与体积

1、中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（

A.

B.

C.

D.

）

2、三棱锥

及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图，则棱 的长为___.

3、

已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆

如图所示

，则这个几何体的内切球的体积为（

）

A．

B．

C．

D．

4、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为

，则图中

A．1

B．

C．2

D．

5、如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（

）A．2

B．

C．6

D．8 6、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵

中，

，

，

，则在堑堵

中截掉阳马

后的几何体的外接球的体积是（

）A．

B．

C．

D．

1

7、“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体。在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗。如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（

）

A．

B．

C．53

D．

二、球的截、切、接问题

补形法处理外接球问题

1.

《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”。现有一阳马，其正视图和测试图是如图所示的直角三角形。求该阳马的外接球的体积________.

（1）

2、在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”。如图ABBC,M是A1C1的所示的几何体是一个“堑堵”，其中AA16,A1B183,BC8,中点，则四棱锥MB1C1CB的外接球的表面积为____________. 3、如图，直三棱锥ABCA1B1C1的上，下底面为等腰直角三角形，ABAC32,BAC90,侧棱长为4，点P在棱A1B1上，且A1P2PB1,则三棱锥AA1C1P的外接球的体积为_______________

4、.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_________. 5、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是___________

6、已知在矩形ABCD中，ABBC10,AB,CD的中点分别为M,N,将该矩形沿MN折叠成三棱柱AMBDNC,且使AMB60,则当该三棱柱的体积最大时，其外接球的表面积_______ 7、已知四面体ABCD中，ABC和BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积

2

最大时，其外接球的表面积是（

）

A.

60

B.30

C.20

D.15

8、点A,B,C是半径为2的球O的球面上不同的三点，且OABC,BC3,BAC120,则三棱锥OABC的体积为_________

内切球问题（等体积法，或者与三角形的内切球相关）

1.

如图是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的内切球的体积是____________

2.

我国古代数学著名的《九章算术》中有这样一数学用语“堑堵”，其表示底面为直角三角形的，且侧棱垂直于底面的三棱柱，若三棱柱ABCA1B1C1为堑堵，且5ABC90,ABC的外接圆半径为，已知三棱柱ABCA1B1C1内一球体与三个侧面2均相切（三棱柱的高度足够大），则该球的体积的最大值为_____________

3.

已知圆锥的高为3，侧面积为20，若此圆锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________________

4.

《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”。在如图所示的鳖臑PABC中，侧棱PC底面ABC,且PCABBC1,则该鳖臑的内切球的表面积为____________

三、点、线、面的位置关系

1、在正三棱柱

中，点

是 的中点，

．

（1）求证：

∥平面

；

（2）试在棱

上找一点

，使

．

2、如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝2，AD＝CD＝1,.M是

3

AB的中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，如图②

（1）求证：BC⊥AD （2）求异面直线DM与BC所成角的正切值

3、四棱锥

中，已知

平面PAD，

，

，E为棱PC上的一点，经过A，B，E三点的平面与棱PD相交于点F．

求证：

平面PAD； 求证： ；

若平面

平面PCD，求证：

．

4、一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M，G分别是AB，DF的中点.

（1）求证：

平面 ；

（2）在线段AD上确定一点P，使得 平面 ，并给出证明；

4