复习参考题名师教学实录

专题复习圆与方程

广东实验中学越秀学校 王萍

一、数学核心素养目标

1.了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题;掌握圆的标准方程和一般方程,加深对圆的方程的认识。

2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆的方程解决一些简单问题。

3.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会用空间两点间的距离公式. 4．通过本节的复习,使学生形成系统的知识结构,掌握几种重要的数学思想方法,形成一定的分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点和难点：

教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。

三、教学过程

（一）导入新课

同学们,我们前面学习了圆、直线与圆等知识,那么我们具体学了哪些知识点,有哪些重要的思想方法,哪些知识高考常考,应形成什么样的理念呢?为此我们利用一节课的时间进行系统的整理,帮助同学们构建知识系统和网络,掌握解题的思路和方法. （二）应用示例

类型一

求圆的方程

例1

根据条件求下列圆的方程．

(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．

解

(1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为

3x＋2y－15＝0，

3x＋2y－15＝0，x＝7，∴由解得

3x＋10y＋9＝0，y＝－3，

∴圆心C(7，－3)，半径为r＝|AC|＝65. ∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. (2)方法一

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝10，

|a－b|圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝. 2由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得

4222d2＋()＝r，

2

a－b2即＋8＝10，∴(a－b)2＝4. 2又∵b＝2a，

∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 方法二

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，

∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a. 由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42，

将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，

得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝x1－x22＋y1－y22

＝2[x1＋x22－4x1x2]＝42，

∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16. a2＋b2－10∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，

2∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2. a＝2，a＝－2，又∵b＝2a，∴或

b＝4b＝－4.

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 总结：求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：

第一步：选择圆的方程的某一形式．

第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．

第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．

第四步：代入圆的方程．

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．

类型二

直线与圆的位置关系

例2

已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

解

(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．

②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0. |k－2＋1－3k|3由题意知，＝2，解得k＝. 4k2＋13∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 4故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. |a－2＋4|4(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝. 3a2＋1(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为|a＋2|，

a2＋13|a＋2|2232∴2＋＝4，解得a＝－. 4a＋12总结：当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2r2－d2. 解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．

类型三

圆与圆的位置关系

例3

已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1、P2两点，若点A到直线P1P2的距离为5，求这个圆的方程．

解

设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，

即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，

所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0. |2＋2×1＋r2－5|由已知得＝5，

5解得r2＝6. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6. 总结：

(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

类型四

数形结合思想的应用

例4

曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(

) 5A．(0，)

125B．(，＋∞) 12

13C．(，]

34答案

D 53D．(，] 124解析

首先明确曲线y＝1＋4－x2表示半圆，

53由数形结合可得＜k≤. 124总结：数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．

（三）课堂小结

本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变,所以在今后的学习中要把握关键,寻求规律,掌握方法,要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及求交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用. （四）作业

复习参考题

B组2、3、5、6.