3.3.1 两条直线的交点坐标教案及板书设计

3.3.1

两条直线的交点坐标

[学习目标]

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 知识梳理

知识点一

两条直线的交点坐标

1.两条直线的交点

已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0). (1)基本知识——点与坐标的一一对应关系

几何元素及关系

点P 直线l 点P在直线l上

直线l1与l2的交点是P

(2)两条直线的交点

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组

A1x＋B1y＋C1＝0，

A2x＋B2y＋C2＝0.代数表示

P(a，b) l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) Aa＋Bb＋C＝0 A1x＋B1y＋C1＝0，x＝a，方程组的解是

A2x＋B2y＋C2＝0y＝b

若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 2.过定点的直线系方程

已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2. 思考

若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？

答

不一定.两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多个解，则两直线重合. 题型探究

题型一

两直线的交点问题

例1

求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 3x＋4y－2＝0，解

方法一

由方程组

2x＋y＋2＝0，x＝－2，解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2). y＝2，

∵直线过坐标原点，

2∴其斜率k＝＝－1. －2故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 方法二

∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0. 反思与感悟

过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；

②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2. 跟踪训练1

求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. x－2y＋4＝0，解

把直线l1和直线l2的方程联立得

x＋y－2＝0，x＝0，解得所以交点P的坐标是(0,2). y＝2，

3由题意知直线l3的斜率为，

4且直线l与直线l3垂直，

4所以直线l的斜率为－，

34所以直线l的方程为y－2＝－(x－0)，

3即4x＋3y－6＝0. 题型三

坐标法的应用

例3

求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半. 证明

如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，

则|AB|＝|c|. c＋mnmn又由中点坐标公式，得D(，)，E(，)，

2222∴|DE|＝c＋mmc1－＝||，∴|DE|＝|AB|. 2222即三角形的中位线长度等于底边长度的一半. 反思与感悟

利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算关系“翻译”成几何关系.

当堂检测

1.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是(

) A.2x＋y－8＝0

C.2x＋y＋8＝0

答案

A 2x－y＋4＝0，x＝1，解析

联立解得∴交点坐标为(1,6).由垂直关系，得所求直线的斜x－y＋5＝0，y＝6.B.2x－y－8＝0 D.2x－y＋8＝0

率为－2，则所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0. 2.直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为(

) A.1

B.－1

C.2

D.－2 答案

B 4x＋3y＝10，x＝4，解析

联立解得∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0，2x－y＝10，y＝－2.

解得a＝－1. 3.两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为(

) A.－24

B.6

C.±6

D.以上答案均不对

答案

C m12解析

直线2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为.∵3m两直线的交点在y轴上，∴12m＝，解得m＝±6. m34.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为(

) 3232A.

B.

C.－

D.－

2323

答案

D 解析

设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2).∵M(1，－1)为AB的中点，∴－1＝1＋y2，则y2＝－3.代入直线x－y－7＝0，得x2＝4，则点B坐标2－3＋12为(4，－3).∵点B，M都在直线l上，∴kl＝＝－.课堂小结

34－1A1x＋B1y＋C1＝0，1.方程组有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的A2x＋B2y＋C2＝0

等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2). 2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.