第四章 圆与方程（通用）优质课教案设计

圆与方程

一、标准方程

xa2ybr2

2二、一般方程

x2y2DxEyF0D2E24F0

1.Ax2By2CxyDxEyF0表示圆方程则

AB0AB0

C0C0D2E24AF022DE4F0AAA2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r4 3.DE4F0常可用来求有关参数的范围

例.（1）圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为____________ （2）圆心在直线2xy3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （3）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围____ ２（4）方程x2+y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；

三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外

2.涉及最值：

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

22PBminBNBCr

PBmaxBMBCr

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAminANrAC

PAmaxAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

２例.点P(5a+1,12a)在圆(x－１)＋y2=1的内部,则a的取值范围是______

四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d为圆心到直线的距离）

（1）相离没有公共点0dr

（2）相切只有一个公共点0dr

（3）相交有两个公共点0dr

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切

（1）知识要点

①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等

问题：直线l与圆C相切意味着什么？

圆心C到直线l的距离恰好等于半径r

（2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无

②求切线方程的方法及注意点

．．．i）点在圆外

22如定点Px0,y0，圆：xaybr，[x0ay0br] 2222第一步：设切线l方程yy0kxx0

第二步：通过drk，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！

如：过点P1,1作圆xy4x6y120的切线，求切线方程. 22答案：3x4y10和x1

ii）点在圆上

1）

若点x0，y0在圆xyr上，则切线方程为x0xy0yr

22222）

若点x0，y0在圆xaybr2上，则切线方程为

22x0axay0bybr2

由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

③求切线长：利用基本图形，APCPrAP求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题

垂径定理及勾股定理——常用

．．．．弦长公式：l1k2222CPr2

2ACrkACkAP1

x1x2xx1k21224x1x2（暂作了解，无需掌握）

（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题

2例：若圆x3y5r上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则22半径r的取值范围是_________________.

答案：4,6

解：到直线4x-3y-2=0的距离为1的点的集合是两条平行线

所以题目可以转化成圆（x-3)2+(y+5)2=r2与这两条平行线只有两个交点

如图，用点到直线的距离求Rmin和Rmax

4.直线与圆相离

会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）

例.（1）圆2x22y21与直线xsiny10(R,为____ （2）若直线axby30与圆xy4x10切于点P(1,2)，则ab的值____；

22（3）直线x2y0被曲线xy6x2y150所截得的弦长等于

；

22222k，kz)的位置关系（4）已知圆C：x(y1)5，直线L：mxy1m0。①求证：对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若AB17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.

五、对称问题

2221.若圆xym1x2mym0，关于直线xy10，则实数m的值为____. 答案：3（注意：m1时，DE4F0，故舍去）

22

变式：已知点A是圆C:x2y2ax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点在圆C上，则实数a_________. 2.圆x1y31关于直线xy0对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆C1：x4y21与圆C2：x2y41关于直线l对称，则直线l的方程为_______________. 3.圆x3y11关于点2,3对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线l：yxb与圆C：x2y21，问：是否存在实数b使自A3,3发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点B22222222247,？若存在，求出b的值；若不存在，理由. 2525解:设A(3,3)关于直线L对称点A1(m,n)，

则(3+n)/2=(3+m)/2+b，

(3-n)/(3-m)=-1 得m=3-b,n=3+b

直线BA1的斜率(3+b-7/25)/(3-b-24/25) 若存在,则(3+b-7/25)/(3-b-24/25)=-(24/25)/(7/25)，

解得b=4 所以存以b=4,使自A（3，3）发出的光线被直线L反射与圆C相切于点B（24/25，7/25）

六、最值问题

方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程

1.已知实数x，y满足方程x2y24x10，求：

y的最大值和最小值；——看作斜率

x5（2）yx的最小值；——截距（线性规划）

（1）（3）xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

2.已知AOB中，OB3，OA4，AB5，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，22PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！

23.设Px,y为圆xy11上的任一点，欲使不等式xyc0恒成立，则c的取2值范围是____________.

答案：c21（数形结合和参数方程两种方法均可！）

七、圆的参数方程

xrcos，为参数

xyrr0yrsin222xarcos222，为参数

xaybrr0ybrsin

八、相关应用

1.若直线mx2ny40（m，nR），始终平分圆x2y24x2y40的周长，则mn的取值范围是______________. 2.已知圆C：x2y22x4y40，问：是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.

提示：x1x2y1y20或弦长公式d1k2x1x2. 答案：xy10或xy40

解:假设直线存在,设l的方程为y=x+m,由

得2x+2(m+1)x+m+4m-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y2=-(m+1),x1x2=∵以AB为直径的圆(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,若它经过原点,则x1x2+y1y2=0. 22. 又y1·y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m.∴2x1x2+m(x1+x2)+m=0,∴m+3m-4=0,m=-4或m=1. ∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ＞0,∴所求直线l的方程是x-y-4=0或x-y+1=0. 3.已知圆C：x3y41，点A0,1，B0,1，设P点是圆C上的动点，22222dPAPB，求d的最值及对应的P点坐标. 4.已知圆C：直线l：

x1y225，2m1xm1y7m40（mR）（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；

（2）求其中弦长最短的直线方程. 25.若直线yxk与曲线x1y恰有一个公共点，则k的取值范围. 22226.已知圆xyx6ym0与直线x2y30交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（d为圆心距）

（1）dr1r2外离

（2）dr1r2外切

（3）r1r2dr1r2相交

（4）dr1r2内切（5）dr1r2内含

22

2.两圆公共弦所在直线方程

22圆C1：x2y2D1xE1yF20，

10，圆C2：xyD2xE2yF则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程. 补充说明：

若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；

若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题

22（1）过两圆C1：x2y2D1xE1yF20交点的10和C2：xyD2xE2yF2222圆系方程为xyD1xE1yF1xyD2xE2yF20（1）

说明：1）上述圆系不包括C2；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

C0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为（2）过直线AxByx2y2DxEyFAxByC0

（3）有关圆系的简单应用

（4）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线

十、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）：略

（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程. 例：过圆x2y21外一点A2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析：OPAPOA

（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动

222



动点

主动点

特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例1.如图，已知定点A2,0，点Q是圆xy1上的动点，AOQ的平分线交AQ于22M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.

分析：参数方程，角平分线定理和定比分点公式. 解：设动点P(cosθ，

sinθ)，

直线OM：y=tanx，直线PA：y=(x-2)，

由OM的方程可得tan(x≠0)，

代入PA的方程得，

化简，可得动点M的轨迹方程为(x-)2+y2=(y≠0)。

法2:由三角形内角平分线的性质知=2,则M分所成的比为λ=,设Q(x1,y1),M(x,y). 则有22即2

2又Q(x1,y1)在圆x+y=1上,则有x1+y1=1. 将上式代入得(x-1)+(2y)=1,故动点M的轨迹方程为(x-2)+y=(22)(y≠0).

2例2.已知圆O：xy9，点A3,0，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆22时针方向排列，且BAC法1：3，求ABC的重心G的轨迹方程. BAC3，BC为定长且等于33

xAxBxC3xBxCx33设Gx,y，则

yyAyByCyByC33取BC的中点为xE22233333

,，yE4,22494

（1）

OECEOC，xE2yE2

xBxC32xE3x3xxxEExBxC2xE，232

yByC2yEyyByCy2yEy3yEE232229323x3332,1

故由（1）得：yx1y1x0,,y22422法2：（参数法）

设B3cos,3sin，由BOC2BAC2，则

32C3cos3设Gx,y，则

2,3sin

3233cos3cosxAxBxC23x1coscos33323sin3sinyAyByC23sinsin2y3331

232234,1

,，由112得：x1y21x0,,y2233参数法的本质是将动点坐标x,y中的x和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消．参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围. ．（4）求轨迹方程常用到得知识

xAxBxCx1x2xx32①重心Gx,y，②中点Px,y，

yyAyByCyy1y223③内角平分线定理：

④定比分点公式：⑤韦达定理. BDCDABAC

xxByyBAM，则xMA，yMA

MB11考点剖析

一、

求圆的方程

1（2009辽宁理科4）已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，

则圆C的方程为

（A）(x1)2(y1)22

(B) (x1)2(y1)22

(C)

(x1)2(y1)22

(D) (x1)2(y1)22

解法一：设圆心为(a,a)，半径为r，则|aa||aa4|r，∴a1,r2。

22解法二：由题意知圆心为直线xy0、xy40分别与直线xy0的交点的中点，交点分别为（0，0）、（2，－2），∴圆心为（1，－1），半径为2。故选B. 二、

直线与圆位置关系

1 判断直线与圆的关系

例1（09年重庆1）直线yx1与圆x2y21的位置关系为（

）

A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

例2 （08安徽卷8）．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A．[3,3] B．(3,3)

2、直线与圆相交

例1（08重庆卷15）已知圆C：

xy2xay30（a为实数）上任意一点关于直线l:xy20的对称点都在圆C上，则a . 例2（08年天津卷15）已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称．直线例5、（09陕西理科4）过原点且倾斜角为60的直线被圆xy4y0所截得的弦长学C．[33,]

33D．(33,)

332222为科网（A）3 （B）2 （C）6 （D）232解析：x2y24y0x2（y2）4， w.w.w..s.5.u.c.o.m A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,ON=3弦长23故选D.

3x4y110与圆C相交于A,B两点，且AB6，则圆C的方程为

3、直线与圆相切

22例1（08年北京卷7）过直线yx上的一点作圆C:(x5)(y1)2的两条切线l1，l2，

当直线l1，l2关于yx对称时，它们之间的夹角为（ ）

A．30

B．45

C．60

D．90

4、直线与圆相离

例1（08年辽宁卷3）圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是（ ）

．．A．k(2，2)

C．k(3，3)

B．k(∞，2)(2，∞)

D．k(∞，3)(3，∞)

22例2（08年四川卷14）已知直线l:xy40与圆C:x1y12，则C上各点到l的距离的最小值为_______。

5 弦长问题

例1

已知圆的方程为M：x2＋y2－6x－8y＝0，设圆中过点N(2，5)的最长弦与最短弦分别为AB、CD，则AB与CD两条弦长之和为(

) A．5＋23

B．5＋223

C．10＋23

D．10＋223 6弦的中点问题

例1

若P(2，－1)为(x－1)2＋y2＝25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是(

) A．x－y－3＝0

B．2x＋y－3＝0

C．x＋y－1＝0

D．2x－y－5＝0 三．圆与圆位置关系

例1、（09天津理科14）若圆x2y24与圆x2y22ay60（a>0）的公共弦的长为23，则a=_______ 四．圆中对称问题

例1、（09海南文5）已知圆C1：(x1)+(y1)=1，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为

（A）(x2)+(y2)=1

（B）(x2)+(y2)=1 （C）(x2)+(y2)=1

（D）(x2)+(y2)=1 2222222222a1b110a222解：设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，

b1b21a1对称圆的半径不变，为1，故选B. 五．圆中最值问题

例8、（09全国2理科16）已知AC、BD为圆O：xy4的两条相互垂直的弦，

22

垂足为M(1,2)，则四边形ABCD的面积的最大值为__________. 解：如图，取AC的中点F，BD的中点E，则OEBD,OFAC，

2又ACBD，所以四边形OEMF为矩形，所以d12d2OM23，

22又|AC|24d1,|BD|24d2，所以

S四边形ABCD12|AC||BD|24d1224d2

23252222(1d12)(4d2)2(d2，因为0d2)23，

24所以当d223时，S四边形ABCD有最大值为5. 2