3.1.2 导数的概念第二课时教学实录

导数的概念

[教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点

[教学方法]讲授启发，自学演练。

[授课类型]：新授课 [课时安排]：1课时 [教 具]：多媒体、实物投影仪 [教学过程] 一、复习提问(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度的时间（单位：）存在关系（单位：）与起跳后，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

（2）新课 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1

表格2

时，在这段时间内

时，在这段时间内

当当当当当0.01时，0.001时，0.000 1时，0.000 01时，0.000 001时，13.051；

13.095 1；

13.099 51；

13.099 951；

当当当当0.01时，0.001时，0.000 1时，0.000 01时，0.000 001时，13.149；

13.104 9；

13.100 49；

13.100 049；

13.100 004 9；

13.099 995 1；

当。。。。。。

。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）

关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均。

上的平均速度；

上的平均速度；

。

速度都趋近于一个确定的值-13.13．

靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段4．

靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段5．

-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1

分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1到的：

。

，现在我们一起回忆一下是如何得首先，算出上的平均速度=，接着观察当趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用 表示“当思考：当结论：当，

趋近于0时，平均速度趋近于确定值-13.1”。

趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，．

就无限趋近于史的瞬时速度，平均速度都趋近于一个确定的值从物理的角度看，时间因此，运动员在间隔无限变小时，平均速度

时的瞬时速度是为了表述方便，我们用表示“当，

”

趋近于0时，平均速度趋近于定值小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3．函数在处的瞬时变化率如何表示？

导数的定义（板书）

函数我们称它为函数在在处的瞬时变化率是处的导数，记作或，

，

即=或。

。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为 附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：=；

=；=；

，当 ③求函数三．典例分析

在时，，所以

处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. 2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求再求

解：法一（略）；

法二：（2）求函数f(x)=在

附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第第时和第时，原油的温度（单位：）为，计算时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

时，原油温度的瞬时变化率就是和

解：在第时和第根据导数定义，

所以在第大约以注：一般地，时和第；同理可得:时，原油温度的瞬时变化率分别为

附近，原油温度和5，说明在的速率下降，在第附近，原油温度大约以附近的变化情况．

的速率上升．

反映了原油温度在时刻17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。

由导数的定义，我们知道，高度关于体积关于时间的导数是运动员的瞬时速度；气球半径的导数就是气球的瞬时膨胀率。

实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。

四．课堂练习

1．质点运动规律为2．求曲线y=f(x)=x在3．例2中，计算第3，求质点在时的导数．

的瞬时速度为．

时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五、小结

1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；

2．导数就是瞬时变化率；

3．导数的计算公式：4. 求函数在=。

处的导数步骤：“一差；二比；三极限”

六、布置作业

教科书习题1.1A组1，2，3，4，5。