阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计(第二课时)

圆锥曲线的光学性质教学设计

一.

教学内容解析

本节课内容是人教A版数学选修1-1中《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料,重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用. 它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例. 学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，查阅各类资料积累阅读与思考的成果，通过课堂进行分享与交流，既掌握了圆锥曲线的光学性质及其广泛应用，

又学会了如何阅读与思考，在分享与交流过程中体验到学习的快乐，这对学生的今后学习、生活有着深远的意义。由于三种曲线的性质可以进行适当的类比，在教学中可突出其中一种曲线进行深入研究.本课重点探讨椭圆的光学性质及其应用，通过类比了解其他曲线的光学性质及其作用. 二.

教学目标解析

(1)

了解三种圆锥曲线的光学性质，并能对椭圆的光学性质进行数学证明。

(2)

能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以论证。

(3)

通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学

的抽象性及其广泛的应用性，同时用学到的数学原理进行创新设计的尝试。

(4)

学会如何阅读、如何思考与数学有关的材料。

三.

学情分析

学生已学完解析几何全部课本知识，对用解析法解决解析几何问题的思想、方法已基本掌握，另外，学生已学习过导数知识，因此能用导数工具求解切线斜率.同时了解光的传播的反射知识.信息时代的学生知识面比较广，并能熟练利用书籍、电脑搜索各方面的知识。

由于人教A版课程中学生圆锥曲线的切线方程、圆锥曲线第二定义等并未强调，以及初中时未学***分线性质定理，这给光学的反射性质的数学证明带来一定的学习困难。，另一方面在论证上可以有所侧重，本课重点证明简单的椭圆的光学性质，对于双曲线、椭圆的光学性质的结论则留给学生自主探究猜想结论，证明过程留作学生课外作业. 四.

教学过程设计

1 情境创设引发动机

引例：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个椭圆形的山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里。囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现。起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者。后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”。

问题1：囚犯得知是狱卒偷听他们的谈话后，十分生气。于是想着要教训下狱卒，打算向上扔绳子打狱卒。囚犯走到洞底，大约40米。囚犯、狱卒、洞底大致在一条直线上，囚犯测得过他们蹲守的地点且沿与该直线垂直的方向到达山洞内壁，约64米。请你计算下，囚犯们用最短多长的绳子才能打到狱卒。

问题2：椭圆究竟有什么特殊性质，让犯人屡次犯错？

2 多维度互动探索因果

学生猜测，犯人议论的地点和看守人的地点刚好在椭圆的两个焦点上，从一个焦点发出的声音，经椭圆的反射后正好经过椭圆的另外一个焦点，大家一致认为反

射的镜面应是椭圆的切线。

2.1 通过观察，验证猜测

利用GeoGebra软件现场制作动画，如图，让学生去观察当入射点（过一个焦点的直线与椭圆的交点）不同时，反射点是否真的过另一个焦点。

同学们在观察制作动画的过程中，肯定了自己的猜想，这一点让他们很兴奋，也激发了他们解决问题的积极性。

2.2 通过论证，证明猜想成立

每位同学积极思考，认为只需要证明过椭圆上一点的切线为焦半径所成角的外角平分线即可以解决问题。

结论1 椭圆的光学性质：过椭圆上一点的切线为焦半径所成角的外角平分线。

证明过程：首先教师将所有的信息点进行串联，给出证明所需要的三个定理或结论：即角平分线定理，椭圆的切线方程以及焦半径公式。教师将证明过程划分为不同的阶段，既定目标一步步达成。面对复杂问题，学生学会化繁为简，将大的问题细分为几个小问题进行。

2.3 通过证明，看待实际问题更透彻

电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为了使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝与片门

应位于椭圆的两个焦点处，这就是利用椭圆光学性质的一个实例。

学生将所学的知识，与现实进行结合，可以朵一些现象和原理进行解释，获得学习的满足感。

2.4 推广到其他的圆锥曲线

教师类比椭圆的光学性质，给出双曲线的光学性质和抛物线的光学性质及其光学性质的实际应用。期间再次利用GeoGebra软件给出动画，进行验证。如图：

3 利用结论，解决例题

通过例题，学生熟练地运用圆锥曲线的光学性质解绝问题，视野得到了扩充，学会运用定理及结论解题，获得收获感，更具积极性。